IME / ITA(EPCAR) Equação trigonométrica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Santino
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Dez 2021 07 03:11

(EPCAR) Equação trigonométrica

Mensagem não lida por Santino »

Se 0 [tex3]\leq x\leq 5pi[/tex3] e senx + [tex3]\sqrt[]{3}[/tex3] cosx = [tex3]\alpha [/tex3] , [tex3]\alpha\in \mathbb{R} [/tex3] então a SOMA dos valores de x para que [tex3]\alpha [/tex3] seja máximo é :

a) [tex3]\frac{pi}{6}[/tex3]

b) [tex3]\frac{13pi}{2}[/tex3]

c)[tex3]\frac{13pi}{6}[/tex3]

d)[tex3]\frac{25pi}{6}[/tex3]
Resposta

b
Não estou conseguindo já tentei de tudo!




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deBroglie
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Dez 2021 07 11:18

Re: (EPCAR) Equação trigonométrica

Mensagem não lida por deBroglie »

Olá , Santino. Resolvi de uma maneira que envolve cálculo , sei que para essa prova não é necessário , mas foi o único método que me veio na cabeça .
=> Para o valor máximo de [tex3]\alpha [/tex3] , temos que : [tex3]\frac{d\alpha }{dx}=0[/tex3] ; [tex3]\frac{d}{dx}(senx+\sqrt{3}.cosx)=0[/tex3] ;
... [tex3]cosx-\sqrt{3}.senx=0[/tex3] ; [tex3]cosx=\sqrt{3}.senx[/tex3] ; e como sabemos : [tex3]sen^2x+cos^2x=1[/tex3] , logo :
[tex3]sen^2x+(3.sen^2x)=1 \therefore 4.sen^2x=1\therefore sen^2x=\frac{1}{4}\therefore senx=\frac{1}{2}[/tex3] ;
Agora que temos os possíveis valores para [tex3]x[/tex3] devemos analisar os sinais . Para [tex3]\alpha [/tex3] ter valor máximo , ambos ( seno e cosseno ) deverão ser positivos ,caso contrário um diminuiria o valor do outro , caso em que [tex3]\alpha[/tex3] não seria máximo , ou mesmo ambos negativos , caso em que [tex3]\alpha [/tex3] seria mínimo e não máximo ; portanto , temos que para ambos serem positivos [tex3]x[/tex3] deverá estar no primeiro quadrante . Logo , e lembrando que vai até 5 [tex3]\pi [/tex3] (900º) , temos : [tex3]x[/tex3] = 30º ; 30º+360º=390º; 390º+360º=750º , e paramos por aí , pois 750º+ 360º daria 1110º , que é maior que 900º.
Somando tudo , teremos : 30º+390º+750º= 1170º ; passando para a forma em radianos , teremos :
[tex3]1170º= \frac{1170.\pi }{180}=\frac{117.\pi }{18}=\frac{39.\pi }{6}=\frac{13.\pi }{2}[/tex3]



“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura.” ~ Bertrand Russell .
EFOMM - 2022

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csmarcelo
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Dez 2021 07 12:03

Re: (EPCAR) Equação trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

De outra forma:

[tex3]\sin x+\sqrt{3}\cos x=\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{\sin x}{2}+\frac{\sqrt{3}\cos x}{2}=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\cdot\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos x=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\sin\frac{\pi}{6}\cdot\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos x=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\cos\(x-\frac{\pi}{6}\)=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\alpha[/tex3] máximo [tex3]\implies\cos[/tex3] máximo [tex3]\implies\cos\(x-\frac{\pi}{6}\)=1\implies x-\frac{\pi}{6}=2k\pi\implies x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex3]

[tex3]x_1=\frac{\pi}{6}+(2\cdot0)\pi=\frac{\pi}{6}[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{\pi}{6}+(2\cdot1)\pi=\frac{13\pi}{6}[/tex3]
[tex3]x_3=\frac{\pi}{6}+(2\cdot2)\pi=\frac{25\pi}{6}[/tex3]



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Santino
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Dez 2021 07 16:14

Re: (EPCAR) Equação trigonométrica

Mensagem não lida por Santino »

Nossa muito obrigado cara, fico de cara como a galera daqui me ajuda. Vlw mesmo!
csmarcelo escreveu:
Ter 07 Dez, 2021 12:03
De outra forma:

[tex3]\sin x+\sqrt{3}\cos x=\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{\sin x}{2}+\frac{\sqrt{3}\cos x}{2}=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\cdot\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos x=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\sin\frac{\pi}{6}\cdot\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos x=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\cos\(x-\frac{\pi}{6}\)=\frac{\alpha}{2}[/tex3]

[tex3]\alpha[/tex3] máximo [tex3]\implies\cos[/tex3] máximo [tex3]\implies\cos\(x-\frac{\pi}{6}\)=1\implies x-\frac{\pi}{6}=2k\pi\implies x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex3]

[tex3]x_1=\frac{\pi}{6}+(2\cdot0)\pi=\frac{\pi}{6}[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{\pi}{6}+(2\cdot1)\pi=\frac{13\pi}{6}[/tex3]
[tex3]x_3=\frac{\pi}{6}+(2\cdot2)\pi=\frac{25\pi}{6}[/tex3]



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Re: (EPCAR) Equação trigonométrica

Mensagem não lida por Santino »

Vlw pela resolução tbm! Nenhum método é dispensável :lol:
deBroglie escreveu:
Ter 07 Dez, 2021 11:18
Olá , Santino. Resolvi de uma maneira que envolve cálculo , sei que para essa prova não é necessário , mas foi o único método que me veio na cabeça .
=> Para o valor máximo de [tex3]\alpha [/tex3] , temos que : [tex3]\frac{d\alpha }{dx}=0[/tex3] ; [tex3]\frac{d}{dx}(senx+\sqrt{3}.cosx)=0[/tex3] ;
... [tex3]cosx-\sqrt{3}.senx=0[/tex3] ; [tex3]cosx=\sqrt{3}.senx[/tex3] ; e como sabemos : [tex3]sen^2x+cos^2x=1[/tex3] , logo :
[tex3]sen^2x+(3.sen^2x)=1 \therefore 4.sen^2x=1\therefore sen^2x=\frac{1}{4}\therefore senx=\frac{1}{2}[/tex3] ;
Agora que temos os possíveis valores para [tex3]x[/tex3] devemos analisar os sinais . Para [tex3]\alpha [/tex3] ter valor máximo , ambos ( seno e cosseno ) deverão ser positivos ,caso contrário um diminuiria o valor do outro , caso em que [tex3]\alpha[/tex3] não seria máximo , ou mesmo ambos negativos , caso em que [tex3]\alpha [/tex3] seria mínimo e não máximo ; portanto , temos que para ambos serem positivos [tex3]x[/tex3] deverá estar no primeiro quadrante . Logo , e lembrando que vai até 5 [tex3]\pi [/tex3] (900º) , temos : [tex3]x[/tex3] = 30º ; 30º+360º=390º; 390º+360º=750º , e paramos por aí , pois 750º+ 360º daria 1110º , que é maior que 900º.
Somando tudo , teremos : 30º+390º+750º= 1170º ; passando para a forma em radianos , teremos :
[tex3]1170º= \frac{1170.\pi }{180}=\frac{117.\pi }{18}=\frac{39.\pi }{6}=\frac{13.\pi }{2}[/tex3]




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