Olimpíadas(Bulgária) Função quadrática

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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SkyWalker17
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(Bulgária) Função quadrática

Mensagem não lida por SkyWalker17 »

Considere a função quadrática [tex3]f(x) = –x^2 + 4px – p + 1[/tex3] . Seja S a área do triângulo em
que dois dos vértices são os pontos de intersecção de [tex3]f(x)[/tex3] com o eixo das abcissas, enquanto que o terceiro vértice é o vértice da parábola.
Achar todos os racionais p tais que S é inteiro.
Resposta

0; 1; 1/4; -3/4




Movido de IME / ITA para Olimpíadas em Qua 01 Dez, 2021 14:37 por ALDRIN

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Gaussiano
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Re: (Bulgária) Função quadrática

Mensagem não lida por Gaussiano »

Sejam [tex3]A(x_1,0), B(x_v,y_v)\text{ e }C(x_2,0)[/tex3] os vértices do triângulo cuja área [tex3]S[/tex3] queremos determinar,
em que [tex3]x_1< x_2[/tex3] são as raízes de [tex3]f(x)=0[/tex3] e [tex3](x_v,y_v)[/tex3] são as coordenadas do vértice de [tex3]f(x).[/tex3]
De [tex3]f(x)=0[/tex3] , decorre que:
[tex3]-x^2+4px-p+1=0\Rightarrow x_1=2p-\sqrt{4p^2-p+1}\text{ e }x_2=2p+\sqrt{4p^2-p+1}.[/tex3]
Para o vértice, vale que:
[tex3]x_v=2p\text{ e }y_v=4p^2-p+1.[/tex3]
Assim, a área do [tex3]\Delta ABC[/tex3] é dada por:
[tex3]S=\dfrac{1}{2}\Bigg |\det\begin{pmatrix}
x_1 & 0 & 1 \\
x_v & y_v & 1 \\
x_2 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\Bigg |=\dfrac{1}{2}|(x_1-x_2)\cdot y_v|\Rightarrow S=(4p^2-p+1)^{3/2}.[/tex3]
Note que, para [tex3]S[/tex3] ser inteiro com [tex3]p[/tex3] racional, [tex3]S[/tex3] deve ser um cubo perfeito ([tex3]S=n^3[/tex3] , para
algum [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3] ), do contrário [tex3]4p^2-p+1\notin \mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Com isso,
[tex3]n^3=(4p^2-p+1)^{3/2}\Rightarrow n^2=4p^2-p+1\Rightarrow 4p^2-p-(n^2-1)=0\Rightarrow [/tex3]
[tex3]p=\dfrac{1\pm \sqrt{16n^2-15}}{8}(*)\Rightarrow 16n^2-15=m^2,[/tex3] para algum [tex3]m\in\mathbb{Z}[/tex3] , senão [tex3]p\notin\mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Logo,
[tex3]16n^2-m^2=15\Rightarrow (4n-m)\cdot(4n+m)=3\cdot5\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4n-m=1 \\
4n+m=15
\end{cases}(I)[/tex3] ,[tex3]\begin{cases}
4n-m=3 \\
4n+m=5
\end{cases}(II)[/tex3] .
Por fim, as soluções dos sistemas [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] são, respectivamente, [tex3](n,m)=\{(2,7),(1,1)\}[/tex3]
e, substituindo em [tex3](*),[/tex3] encontra-se que [tex3]p\in\bigg\{-\dfrac{3}{4},0,\dfrac{1}{4},1\bigg\}.[/tex3]




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