que dois dos vértices são os pontos de intersecção de [tex3]f(x)[/tex3] com o eixo das abcissas, enquanto que o terceiro vértice é o vértice da parábola.
Achar todos os racionais p tais que S é inteiro.
Resposta
0; 1; 1/4; -3/4
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Função quadrática
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SkyWalker17
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Nov 2021
29
22:37
(Bulgária) Função quadrática
Considere a função quadrática [tex3]f(x) = –x^2 + 4px – p + 1[/tex3]
. Seja S a área do triângulo em
que dois dos vértices são os pontos de intersecção de [tex3]f(x)[/tex3] com o eixo das abcissas, enquanto que o terceiro vértice é o vértice da parábola.
Achar todos os racionais p tais que S é inteiro.
0; 1; 1/4; -3/4
que dois dos vértices são os pontos de intersecção de [tex3]f(x)[/tex3] com o eixo das abcissas, enquanto que o terceiro vértice é o vértice da parábola.
Achar todos os racionais p tais que S é inteiro.
0; 1; 1/4; -3/4
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Gaussiano
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Jan 2022
20
21:10
Re: (Bulgária) Função quadrática
Sejam [tex3]A(x_1,0), B(x_v,y_v)\text{ e }C(x_2,0)[/tex3]
os vértices do triângulo cuja área [tex3]S[/tex3]
queremos determinar,
em que [tex3]x_1< x_2[/tex3] são as raízes de [tex3]f(x)=0[/tex3] e [tex3](x_v,y_v)[/tex3] são as coordenadas do vértice de [tex3]f(x).[/tex3]
De [tex3]f(x)=0[/tex3] , decorre que:
[tex3]-x^2+4px-p+1=0\Rightarrow x_1=2p-\sqrt{4p^2-p+1}\text{ e }x_2=2p+\sqrt{4p^2-p+1}.[/tex3]
Para o vértice, vale que:
[tex3]x_v=2p\text{ e }y_v=4p^2-p+1.[/tex3]
Assim, a área do [tex3]\Delta ABC[/tex3] é dada por:
[tex3]S=\dfrac{1}{2}\Bigg |\det\begin{pmatrix}
x_1 & 0 & 1 \\
x_v & y_v & 1 \\
x_2 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\Bigg |=\dfrac{1}{2}|(x_1-x_2)\cdot y_v|\Rightarrow S=(4p^2-p+1)^{3/2}.[/tex3]
Note que, para [tex3]S[/tex3] ser inteiro com [tex3]p[/tex3] racional, [tex3]S[/tex3] deve ser um cubo perfeito ([tex3]S=n^3[/tex3] , para
algum [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3] ), do contrário [tex3]4p^2-p+1\notin \mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Com isso,
[tex3]n^3=(4p^2-p+1)^{3/2}\Rightarrow n^2=4p^2-p+1\Rightarrow 4p^2-p-(n^2-1)=0\Rightarrow [/tex3]
[tex3]p=\dfrac{1\pm \sqrt{16n^2-15}}{8}(*)\Rightarrow 16n^2-15=m^2,[/tex3] para algum [tex3]m\in\mathbb{Z}[/tex3] , senão [tex3]p\notin\mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Logo,
[tex3]16n^2-m^2=15\Rightarrow (4n-m)\cdot(4n+m)=3\cdot5\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4n-m=1 \\
4n+m=15
\end{cases}(I)[/tex3] ,[tex3]\begin{cases}
4n-m=3 \\
4n+m=5
\end{cases}(II)[/tex3] .
Por fim, as soluções dos sistemas [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] são, respectivamente, [tex3](n,m)=\{(2,7),(1,1)\}[/tex3]
e, substituindo em [tex3](*),[/tex3] encontra-se que [tex3]p\in\bigg\{-\dfrac{3}{4},0,\dfrac{1}{4},1\bigg\}.[/tex3]
em que [tex3]x_1< x_2[/tex3] são as raízes de [tex3]f(x)=0[/tex3] e [tex3](x_v,y_v)[/tex3] são as coordenadas do vértice de [tex3]f(x).[/tex3]
De [tex3]f(x)=0[/tex3] , decorre que:
[tex3]-x^2+4px-p+1=0\Rightarrow x_1=2p-\sqrt{4p^2-p+1}\text{ e }x_2=2p+\sqrt{4p^2-p+1}.[/tex3]
Para o vértice, vale que:
[tex3]x_v=2p\text{ e }y_v=4p^2-p+1.[/tex3]
Assim, a área do [tex3]\Delta ABC[/tex3] é dada por:
[tex3]S=\dfrac{1}{2}\Bigg |\det\begin{pmatrix}
x_1 & 0 & 1 \\
x_v & y_v & 1 \\
x_2 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\Bigg |=\dfrac{1}{2}|(x_1-x_2)\cdot y_v|\Rightarrow S=(4p^2-p+1)^{3/2}.[/tex3]
Note que, para [tex3]S[/tex3] ser inteiro com [tex3]p[/tex3] racional, [tex3]S[/tex3] deve ser um cubo perfeito ([tex3]S=n^3[/tex3] , para
algum [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3] ), do contrário [tex3]4p^2-p+1\notin \mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Com isso,
[tex3]n^3=(4p^2-p+1)^{3/2}\Rightarrow n^2=4p^2-p+1\Rightarrow 4p^2-p-(n^2-1)=0\Rightarrow [/tex3]
[tex3]p=\dfrac{1\pm \sqrt{16n^2-15}}{8}(*)\Rightarrow 16n^2-15=m^2,[/tex3] para algum [tex3]m\in\mathbb{Z}[/tex3] , senão [tex3]p\notin\mathbb{Q},[/tex3] absurdo.
Logo,
[tex3]16n^2-m^2=15\Rightarrow (4n-m)\cdot(4n+m)=3\cdot5\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4n-m=1 \\
4n+m=15
\end{cases}(I)[/tex3] ,[tex3]\begin{cases}
4n-m=3 \\
4n+m=5
\end{cases}(II)[/tex3] .
Por fim, as soluções dos sistemas [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] são, respectivamente, [tex3](n,m)=\{(2,7),(1,1)\}[/tex3]
e, substituindo em [tex3](*),[/tex3] encontra-se que [tex3]p\in\bigg\{-\dfrac{3}{4},0,\dfrac{1}{4},1\bigg\}.[/tex3]
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