logbxb + 2logxb + 3logb2xb = 0, b [tex3]\in [/tex3] R tal que b > 0 [tex3]\mathbb , b\neq [/tex3] 1 então (x1 . x2 )6 vale
Resposta
[tex3]b^{-6}[/tex3]
Moderador: [ Moderadores TTB ]
joaopcarv escreveu: ↑Qui 25 Nov, 2021 01:38Cheguei no mesmo que você... vou postar a minha resolução:
Passando os logaritmos para a mesma base [tex3]\mathsf{b}[/tex3] , tendo então, por mudança de base:
[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{\log_b \ b\cdot x} \ + \ \dfrac{2}{\log_b \ x}\ + \ \dfrac{3}{\log_b \ b^2 \cdot x} \ = \ 0}[/tex3]
Deixando em denominador comum:
[tex3]\mathsf{\dfrac{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x)}{(\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x)} \ = \ 0}[/tex3]
Desenvolvendo o numerador:
[tex3]\mathsf{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \ = \ 0}[/tex3]
Chamando [tex3]\mathsf{\log_b \ x \ = \ y:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 2 \cdot (1 \ + \ y) \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 3 \cdot (1 \ + \ y) \cdot y \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{2\cdot y \ + \ y^2 \ + \ 4 \ + \ 6 \cdot y \ + \ 2 \cdot y^2 \ + \ 3 \cdot y \ + \ 3\cdot y^2 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{6 \cdot y^2 \ + \ 11 \cdot y \ + \ 4 \ = \ 0}[/tex3]
Temos [tex3]\mathsf{y_1 \ = \ - \dfrac{4}{3}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{y_2 \ = \ - \dfrac{1}{2}}[/tex3] , e, portanto, [tex3]\mathsf{x_1 \ = \ b^{- \frac{4}{3}}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{x_2 \ = \ b^{-\frac{1}{2}}}[/tex3] , e então:
[tex3]\mathsf{(x_1 \cdot x_2)^6 \ = \ b^{-11}.}[/tex3]