IME / ITA(AFA) Função Logarítmica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Santino
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(AFA) Função Logarítmica

Mensagem não lida por Santino »

Se x1 e x2 são raízes da equação :

logbxb + 2logxb + 3logb2xb = 0, b [tex3]\in [/tex3] R tal que b > 0 [tex3]\mathbb , b\neq [/tex3] 1 então (x1 . x2 )6 vale
Resposta

[tex3]b^{-6}[/tex3]
Olha o gabarito diz que essa é a resposta, porém estou achando [tex3]b^{-11}[/tex3]

Última edição: ALDRIN (Seg 29 Nov, 2021 13:34). Total de 2 vezes.



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joaopcarv
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Nov 2021 25 01:38

Re: (AFA) Função Logarítmica

Mensagem não lida por joaopcarv »

Cheguei no mesmo que você... vou postar a minha resolução:

Passando os logaritmos para a mesma base [tex3]\mathsf{b}[/tex3] , tendo então, por mudança de base:

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{\log_b \ b\cdot x} \ + \ \dfrac{2}{\log_b \ x}\ + \ \dfrac{3}{\log_b \ b^2 \cdot x} \ = \ 0}[/tex3]

Deixando em denominador comum:

[tex3]\mathsf{\dfrac{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x)}{(\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x)} \ = \ 0}[/tex3]

Desenvolvendo o numerador:

[tex3]\mathsf{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \ = \ 0}[/tex3]

Chamando [tex3]\mathsf{\log_b \ x \ = \ y:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 2 \cdot (1 \ + \ y) \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 3 \cdot (1 \ + \ y) \cdot y \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot y \ + \ y^2 \ + \ 4 \ + \ 6 \cdot y \ + \ 2 \cdot y^2 \ + \ 3 \cdot y \ + \ 3\cdot y^2 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{6 \cdot y^2 \ + \ 11 \cdot y \ + \ 4 \ = \ 0}[/tex3]

Temos [tex3]\mathsf{y_1 \ = \ - \dfrac{4}{3}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{y_2 \ = \ - \dfrac{1}{2}}[/tex3] , e, portanto, [tex3]\mathsf{x_1 \ = \ b^{- \frac{4}{3}}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{x_2 \ = \ b^{-\frac{1}{2}}}[/tex3] , e então:

[tex3]\mathsf{(x_1 \cdot x_2)^6 \ = \ b^{-11}.}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Qui 25 Nov, 2021 20:02). Total de 1 vez.


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Santino
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Re: (AFA) Função Logarítmica

Mensagem não lida por Santino »

Fiz a mesma resolução! Mto obrigado pela resolução, estava precisando de uma segunda opinião :wink:


joaopcarv escreveu:
Qui 25 Nov, 2021 01:38
Cheguei no mesmo que você... vou postar a minha resolução:

Passando os logaritmos para a mesma base [tex3]\mathsf{b}[/tex3] , tendo então, por mudança de base:

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{\log_b \ b\cdot x} \ + \ \dfrac{2}{\log_b \ x}\ + \ \dfrac{3}{\log_b \ b^2 \cdot x} \ = \ 0}[/tex3]

Deixando em denominador comum:

[tex3]\mathsf{\dfrac{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x)}{(\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x)} \ = \ 0}[/tex3]

Desenvolvendo o numerador:

[tex3]\mathsf{(\log_b \ x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 2 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ b^2 \cdot x) \ + \ 3 \cdot (\log_b \ b\cdot x) \cdot (\log_b \ x) \ = \ 0}[/tex3]

Chamando [tex3]\mathsf{\log_b \ x \ = \ y:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 2 \cdot (1 \ + \ y) \cdot (2 \ + \ y) \ + \ 3 \cdot (1 \ + \ y) \cdot y \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot y \ + \ y^2 \ + \ 4 \ + \ 6 \cdot y \ + \ 2 \cdot y^2 \ + \ 3 \cdot y \ + \ 3\cdot y^2 \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{6 \cdot y^2 \ + \ 11 \cdot y \ + \ 4 \ = \ 0}[/tex3]

Temos [tex3]\mathsf{y_1 \ = \ - \dfrac{4}{3}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{y_2 \ = \ - \dfrac{1}{2}}[/tex3] , e, portanto, [tex3]\mathsf{x_1 \ = \ b^{- \frac{4}{3}}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{x_2 \ = \ b^{-\frac{1}{2}}}[/tex3] , e então:

[tex3]\mathsf{(x_1 \cdot x_2)^6 \ = \ b^{-11}.}[/tex3]




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