Determine o número de termos comuns às progressões
[tex3](x, x + 7, x + 14, ..., x + 3675)[/tex3]
e
[tex3](x, x + 3, x + 6, ..., x + 297)[/tex3]
.
IME / ITA ⇒ (IME CG - 2006) Progressões Tópico resolvido
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13
22:35
(IME CG - 2006) Progressões
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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Nov 2021
14
11:12
Re: (IME CG - 2006) Progressões
ALDRIN,
Inicialmente, note que o termo inicial é comum às duas progressões. Assim, basta que o termo somado a ele seja igual em dois elementos de cada progressão.
Na primeira, temos que todos esses termos são da forma [tex3]7k,1\leq k\leq525[/tex3]
Já na segunda, são da forma [tex3]3k,1\leq k\leq19[/tex3]
Assim, basta acharmos os múltiplos de 3 e 7, ou seja, 21 nesse intervalo.
Como a segunda sequência é a menor, ela limitará nossa contagem. Seja m o número de múltiplos de 21 nesse intervalo.
Teremos que [tex3]21m\leq297\implies m\leq14[/tex3]
Assim, como m varia de 0 (termo inicial) até 14, temos 15 termos comuns às duas progressões nesse intervalo.
Inicialmente, note que o termo inicial é comum às duas progressões. Assim, basta que o termo somado a ele seja igual em dois elementos de cada progressão.
Na primeira, temos que todos esses termos são da forma [tex3]7k,1\leq k\leq525[/tex3]
Já na segunda, são da forma [tex3]3k,1\leq k\leq19[/tex3]
Assim, basta acharmos os múltiplos de 3 e 7, ou seja, 21 nesse intervalo.
Como a segunda sequência é a menor, ela limitará nossa contagem. Seja m o número de múltiplos de 21 nesse intervalo.
Teremos que [tex3]21m\leq297\implies m\leq14[/tex3]
Assim, como m varia de 0 (termo inicial) até 14, temos 15 termos comuns às duas progressões nesse intervalo.
Dias de luta, dias de glória.
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