Ensino Médio ⇒ Trigonometria

[Hanon]

Computar a soma a seguir:
[tex3]E=\tg^{1024}\(\frac{\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{2\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{4\pi}{9}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=\tg^{1024}\(\frac{\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{2\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{4\pi}{9}\)[/tex3]

NÃO TENHO GABARITO.

[AnthonyC]

Segundo WolframAlpha, é aproximadamente [tex3]5.88\cdot 10^{771}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5.88\cdot 10^{771}[/tex3]

. Dado o tamanho da resposta, não acho que deva ter alguma forma simplificada de escrever.

[Tassandro]

Hanon,

Observe que [tex3]\tg^2(3\cdot20\degree)=\tg^2(3\cdot40\degree)=\tg^2(3\cdot80\degree)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg^2(3\cdot20\degree)=\tg^2(3\cdot40\degree)=\tg^2(3\cdot80\degree)=3[/tex3]

Sendo assim, da equação

[tex3]\tg3α=\frac{3\tgα-\tg^3α}{1-3\tg^2α}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg3α=\frac{3\tgα-\tg^3α}{1-3\tg^2α}[/tex3]

Podemos elevar ambos os membros ao quadrado, e fazendo [tex3]\tg^2α=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg^2α=3[/tex3]

, teremos a equação:

[tex3]\tg^6α-33\tg^4α+27\tg^2α-3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg^6α-33\tg^4α+27\tg^2α-3=0[/tex3]

Cujas raízes são as tangentes mencionadas inicialmente. Fazendo [tex3]\tg^2α=y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg^2α=y[/tex3]

, obtemos
[tex3]y^3-33y^2+27x-3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^3-33y^2+27x-3=0[/tex3]

Por Somas de Newton, estamos procurando o valor de [tex3]S_{512}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{512}[/tex3]

Agora, de fato, não vejo uma maneira inteligente de se calcular isso que não seja na força bruta.