IME / ITA(Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Flavio2020
Imperial
Mensagens: 730
Registrado em: Seg 06 Fev, 2017 16:29
Última visita: 16-03-24
Localização: CACEQUI RS
Out 2021 23 18:06

(Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Tem-se um paralelogramo ABCD, cujos os vértices são A(3;0), B(1;4), C(-3;2) e D(a;b). Calcule a área da região triangular ALD, sabe-se que L pertence a BC.
a)8
b)10
c)20
d)15
e)12
Resposta

d




Deleted User 23699
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Out 2021 23 19:09

Re: (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Acho que alguma coisa está errada.
Fiz nessa ordem:
1. Coloquei A, B, C no plano cartesiano.
2. Encontrei a reta BC (coef. angular de BC)
3. Fiz uma reta que passasse por A e tivesse o mesmo coeficiente angular de BC.
4. Encontrei a reta AB (coef. angular de AB)
5. Fiz uma reta que passasse por C e tivesse o mesmo coeficiente angular de AB.
6. Encontrei a interseção de AB e essa última reta, do item C. Essa interseção é o D.
7. Tendo A, D e a reta BC (essa parte não ficou muito bem definida, pois posso considerar que L = C, que foi o que fiz), encontro a área do triângulo usando aquela notação matricial. Segundo o Geogebra, isso daria 10.
172.png
172.png (19.48 KiB) Exibido 1311 vezes

Última edição: Deleted User 23699 (Sáb 23 Out, 2021 19:10). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 588
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 16-02-24
Localização: Osasco-SP
Out 2021 23 21:20

Re: (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Mensagem não lida por joaopcarv »

Zhadnyy, fiz um pouco diferente, mas deu a mesma resposta.

geog.png
geog.png (74.23 KiB) Exibido 1297 vezes
Coeficiente angular de [tex3]\mathsf{\overline{BC} \ = \ \dfrac{4 \ - \ 2}{1 \ + \ 3} \ = \ \dfrac{1}{2}}[/tex3] , que também é o coeficiente angular de [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] . Portanto, a reta que contém [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] é [tex3]\mathsf{y \ = \ \dfrac{x \ - \ 3}{2}}[/tex3] .

Por semelhança, há [tex3]\mathsf{4}[/tex3] unidades de abscissa entre [tex3]\mathsf{B}[/tex3] e [tex3]\mathsf{C}[/tex3] , logo também há entre [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{D}[/tex3] . Portanto, [tex3]\mathsf{D}[/tex3] pode ser o ponto [tex3]\mathsf{\bigg(3 \ + \ 4, \ \dfrac{3 \ + \ 4 \ - \ 3}{2}\bigg) \ =\ (7,2).}[/tex3] Considerei esse ponto.

Agora, sendo [tex3]\mathsf{L}[/tex3] um ponto qualquer em [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] , podemos calcular [tex3]\mathsf{\triangle ADL}[/tex3] usando a base [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] e a distância entre [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] , visto que são paralelas, sendo essa distância a altura relativa à base escolhida.

Calcular essa distância [tex3]\mathsf{h}[/tex3] é simples, dado que podemos calcular a projeção ortogonal de qualquer ponto de [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] em [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] , e essa projeção terá tamanho constante para todos os outros pontos e suas respectivas projeções (já que são retas paralelas).

A reta perpendicular aos lados paralelos possui coeficiente angular [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ -2 \ (m_1 \cdot m_2 \ = \ -1)}[/tex3] , pela condição de perpendicularidade. Vamos escolher um ponto de [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] , por exemplo, [tex3]\mathsf{B \ = \ (1,4).}[/tex3]

A reta perpendicular que passa por [tex3]\mathsf{B}[/tex3] é: [tex3]\mathsf{\dfrac{y \ - \ 4}{x \ - \ 1} \ = \ -2 \ \therefore \ y \ = \ -2 \cdot x \ + \ 6.}[/tex3]

A intersecção dessa reta com a reta que contém [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] é a projeção.

[tex3]\mathsf{-2 \cdot x \ + \ 6 \ = \ \dfrac{x \ - \ 3}{2} \ \therefore \ x \ = \ 3}[/tex3]

Logo, o ponto de projeção é [tex3]\mathsf{(3,0)}[/tex3] , e a distância [tex3]\mathsf{h}[/tex3] é [tex3]\mathsf{dist\big((1,4), \ (3,0)\big) \ = \ 2 \cdot \sqrt{5}.}[/tex3]

A base é [tex3]\mathsf{dist\big((7,2), \ (3,0)\big) \ = \ 2 \cdot \sqrt{5}.}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\mathsf{\triangle ADL \ = \ \dfrac{\cancel{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2 \cdot \sqrt{5}}{\cancel{2}} \ = \ \boxed{\mathsf{10}}}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Sex 07 Jan, 2022 13:06). Total de 3 vezes.


That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica
    por AngelitaB » » em IME / ITA
    1 Respostas
    1289 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica
    por Flavio2020 » » em IME / ITA
    1 Respostas
    1226 Exibições
    Última msg por LostWalker
  • Nova mensagem (Simulado-Ime/Ita) Geometria Espacial
    por AngelitaB » » em IME / ITA
    1 Respostas
    1513 Exibições
    Última msg por LostWalker
  • Nova mensagem (Simulado-Ime/Ita) Fatorial
    por AngelitaB » » em IME / ITA
    1 Respostas
    1179 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Simulado-Ime/Ita) Equação
    por AngelitaB » » em IME / ITA
    1 Respostas
    1343 Exibições
    Última msg por joaopcarv

Voltar para “IME / ITA”