Zhadnyy, fiz um pouco diferente, mas deu a mesma resposta.
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Coeficiente angular de [tex3]\mathsf{\overline{BC} \ = \ \dfrac{4 \ - \ 2}{1 \ + \ 3} \ = \ \dfrac{1}{2}}[/tex3]
, que também é o coeficiente angular de [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
. Portanto, a reta que contém [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
é [tex3]\mathsf{y \ = \ \dfrac{x \ - \ 3}{2}}[/tex3]
.
Por semelhança, há [tex3]\mathsf{4}[/tex3]
unidades de abscissa entre [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{C}[/tex3]
, logo também há entre [tex3]\mathsf{A}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{D}[/tex3]
. Portanto, [tex3]\mathsf{D}[/tex3]
pode ser o ponto [tex3]\mathsf{\bigg(3 \ + \ 4, \ \dfrac{3 \ + \ 4 \ - \ 3}{2}\bigg) \ =\ (7,2).}[/tex3]
Considerei esse ponto.
Agora, sendo [tex3]\mathsf{L}[/tex3]
um ponto qualquer em [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3]
, podemos calcular [tex3]\mathsf{\triangle ADL}[/tex3]
usando a base [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
e a distância entre [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3]
, visto que são paralelas, sendo essa distância a altura relativa à base escolhida.
Calcular essa distância [tex3]\mathsf{h}[/tex3]
é simples, dado que podemos calcular a projeção ortogonal de qualquer ponto de [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3]
em [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
, e essa projeção terá tamanho constante para todos os outros pontos e suas respectivas projeções (já que são retas paralelas).
A reta perpendicular aos lados paralelos possui coeficiente angular [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ -2 \ (m_1 \cdot m_2 \ = \ -1)}[/tex3]
, pela condição de perpendicularidade. Vamos escolher um ponto de [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3]
, por exemplo, [tex3]\mathsf{B \ = \ (1,4).}[/tex3]
A reta perpendicular que passa por [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
é: [tex3]\mathsf{\dfrac{y \ - \ 4}{x \ - \ 1} \ = \ -2 \ \therefore \ y \ = \ -2 \cdot x \ + \ 6.}[/tex3]
A intersecção dessa reta com a reta que contém [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
é a projeção.
[tex3]\mathsf{-2 \cdot x \ + \ 6 \ = \ \dfrac{x \ - \ 3}{2} \ \therefore \ x \ = \ 3}[/tex3]
Logo, o ponto de projeção é [tex3]\mathsf{(3,0)}[/tex3]
, e a distância [tex3]\mathsf{h}[/tex3]
é [tex3]\mathsf{dist\big((1,4), \ (3,0)\big) \ = \ 2 \cdot \sqrt{5}.}[/tex3]
A base é [tex3]\mathsf{dist\big((7,2), \ (3,0)\big) \ = \ 2 \cdot \sqrt{5}.}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\mathsf{\triangle ADL \ = \ \dfrac{\cancel{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2 \cdot \sqrt{5}}{\cancel{2}} \ = \ \boxed{\mathsf{10}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP