IME / ITA(Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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(Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Em um triângulo ABC, A(1;2), e as mediatrizes de AB e BC, são perpendiculares, se interceptam em M(6;2).Se B(a;3a) e a>0, quanto vale o coeficiente angular MB.
a)2
b)-1
c)-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d)-[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
Resposta

b




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LostWalker
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Fev 2022 09 12:52

Re: (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LostWalker »

Má Formulação
Essa questão está mal formulada; Depois de ir resolvendo umas equações e chegar em resultados complexos, resolvi desenhar no Geogebra chegando nesse resultado:
Screenshot 2022-02-09 at 12-16-30 Calculator Suite - GeoGebra.png
Screenshot 2022-02-09 at 12-16-30 Calculator Suite - GeoGebra.png (37.22 KiB) Exibido 1000 vezes
A reta em azul segue segue a notação de [tex3]B=(a,3a)[/tex3] , a linha verde, a título de curiosidade é a resposta do Gab, no caso, ela está a mais, já que, como a reta em azul não faz interseção com o círculo, não tem solução.




Suposto Raciocínio do Enunciado
A primeira ideia do enunciado é sobre essas retas perpendiculares; As mediatrizes formam [tex3]90^\circ[/tex3] com o lado de apoio, porém o encontro das duas apresentadas também formam [tex3]90^\circ[/tex3] , considerando o quadrilátero formado pelas medianas (onde se iniciam as mediatrizes), [tex3]M[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , restam apenas [tex3]90^\circ[/tex3] para [tex3]B[/tex3] , o que implica que [tex3]\angle ABC=90^\circ[/tex3] , logo, a figura se trata de um triângulo Retângulo.

Segundo as propriedades de Mediatrizes, o encontro das mesmas ocorre no ponto circunscrito, que no caso desse triângulo retângulo, é na reta [tex3]\overline{AC}[/tex3] , ou seja, [tex3]M[/tex3] é ponto de [tex3]\overline{AC}[/tex3] , assim achamos [tex3]C[/tex3] que se encontra em:

[tex3]M=(6,2)=\(\frac{1+x_c}2,\frac{2+y_c}2\)\,\,\,\therefore\,\,\,C=(11,2)[/tex3]




Duas Formas de Terminar

A primeira seria utilizar Pitágoras:

[tex3]d_{AC}^2=d_{AB}^2+d_{BC}^2[/tex3]


A segunda e a que eu pessoalmente acho mais bonita é:

Dado que [tex3]B\in r|r: y=3x[/tex3] e [tex3]B\in c|c:\,(x-6)^2+(y-2)^2=5^2[/tex3] concluímos que [tex3]B\in(r\cap c)[/tex3]

*nota: [tex3]c[/tex3] é a equação da circunferência.


Nisso você encontraria [tex3]B[/tex3] e poderia calcular a coeficiente angular fazendo: [tex3]m=\frac{y_b-6}{x_b-2}[/tex3]



"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly

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