A função p(x)= |x²+x-1| é estritamente menor que 1 para os valores de x .
gabarito : (-2,-1) U (0,1) . alguém poderia fazer passo a passo
IME / ITA ⇒ (EN) Inequações Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
07
05:15
Re: (EN) Inequações
[tex3]
p(x)<1\iff |x^2+x-1|<1 \iff -1 < x^2+x-1 < 1\\[12pt]
\text{Seja }f(x)=x^2+x-1\\
f(x)=-1\iff x^2+x=0\iff x(x+1)=0 \iff (x=0\text{ ou }x=-1)\\[12pt]
f(x)=1\iff x^2+x-2=0\iff (x=\dfrac{-\!1\!-\!\sqrt{1^2\!-\!4\!\times\!1\!\times\!(\!-\!2)}}{2}=-2\text{ ou }x=\dfrac{-\!1\!+\!\sqrt{1^2\!-\!4\!\times\!1\!\times\!(\!-\!2)}}{2}=1\\[12pt]
f'(x)=2x+1\implies \left\{\begin{array}{}x < -\dfrac{1}{2}\implies f'(x) > 0\\x < -\dfrac{1}{2}\implies f'(x) > 0\end{array}\right.\implies\left\{\begin{array}{}f\text{ estritamente decrescente em }]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\\f\text{ estritamente crescente em }]-\dfrac{1}{2};+\infty[\end{array}\right.\\[36pt]
\text{ E então:}\\
\begin{align}
x<-2&\implies f(x)>f(-1)\implies f(x)>1\\-2 < x <-1&\implies 1 > f(x) > -1\\
-1 < x <-\dfrac{1}{2}&\implies -1 > f(x)>-\dfrac{5}{4}\\
-\dfrac{1}{2} < x <0 &\implies -\dfrac{5}{4} < f(x) < -1\\
0 < x <1 &\implies -1 < f(x) < 1\\
x>1 &\implies f(x)>1
\end{align}\\[12pt]
\text{Ou seja }p(x) < 1 \iff -1 < f(x) <1 \iff (-2 < x < -1\text{ ou }0 < x < 1)\iff x\in \left (]-2;-1[\cup]0;1[\right)
[/tex3]
p(x)<1\iff |x^2+x-1|<1 \iff -1 < x^2+x-1 < 1\\[12pt]
\text{Seja }f(x)=x^2+x-1\\
f(x)=-1\iff x^2+x=0\iff x(x+1)=0 \iff (x=0\text{ ou }x=-1)\\[12pt]
f(x)=1\iff x^2+x-2=0\iff (x=\dfrac{-\!1\!-\!\sqrt{1^2\!-\!4\!\times\!1\!\times\!(\!-\!2)}}{2}=-2\text{ ou }x=\dfrac{-\!1\!+\!\sqrt{1^2\!-\!4\!\times\!1\!\times\!(\!-\!2)}}{2}=1\\[12pt]
f'(x)=2x+1\implies \left\{\begin{array}{}x < -\dfrac{1}{2}\implies f'(x) > 0\\x < -\dfrac{1}{2}\implies f'(x) > 0\end{array}\right.\implies\left\{\begin{array}{}f\text{ estritamente decrescente em }]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\\f\text{ estritamente crescente em }]-\dfrac{1}{2};+\infty[\end{array}\right.\\[36pt]
\text{ E então:}\\
\begin{align}
x<-2&\implies f(x)>f(-1)\implies f(x)>1\\-2 < x <-1&\implies 1 > f(x) > -1\\
-1 < x <-\dfrac{1}{2}&\implies -1 > f(x)>-\dfrac{5}{4}\\
-\dfrac{1}{2} < x <0 &\implies -\dfrac{5}{4} < f(x) < -1\\
0 < x <1 &\implies -1 < f(x) < 1\\
x>1 &\implies f(x)>1
\end{align}\\[12pt]
\text{Ou seja }p(x) < 1 \iff -1 < f(x) <1 \iff (-2 < x < -1\text{ ou }0 < x < 1)\iff x\in \left (]-2;-1[\cup]0;1[\right)
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