[tex3]3sen^2(e^x) - 2 \sqrt3.sen(e^x).cos(e^x) - 3cos^2(e^x) = 0[/tex3] obtemos:
- Screenshot_20211006-124653_Office.jpg (19.61 KiB) Exibido 996 vezes
Resposta
D
IME / ITA ⇒ (ITA) Trigonometria
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
06
12:52
(ITA) Trigonometria
Resolvendo a equação
[tex3]3sen^2(e^x) - 2 \sqrt3.sen(e^x).cos(e^x) - 3cos^2(e^x) = 0[/tex3] obtemos:
D
eu cheguei em e^x = 2pi/3 + k.pi ou e^x = pi/3 + k.pi
[tex3]3sen^2(e^x) - 2 \sqrt3.sen(e^x).cos(e^x) - 3cos^2(e^x) = 0[/tex3] obtemos:
D
Última edição: ALDRIN (Ter 19 Out, 2021 14:15). Total de 1 vez.
Out 2021
06
19:24
Re: (ITA) Trigonometria
[tex3]
3\sin^2(e^x) - 2 \sqrt3.\sin(e^x).\cos(e^x) - 3\cos^2(e^x) = 0\quad\textbf{(1)}\\[24pt]
\text{Seja }z=e^{ie^x}: \sin(e^x)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\text{ e }\cos(e^x)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\\
\text{e }|z|=1\text{ ou seja }\mathrm{Re}^2(z)+\mathrm{Im}^2(z)=1\\[24pt]
\begin{align}(1)&\iff \frac{3}{-4}(z-\overline{z})^2-\frac{2\sqrt{3}}{4i}(z+\overline{z})(z-\overline{z})-\frac{3}{4}(z+\overline{z})^2=0\\[12pt]
&\iff -\frac{3}{4}(i2\mathrm{Im}(z))^2-\frac{2\sqrt{3}}{4i}\cdot2\mathrm{Re}(z)\cdot i2\mathrm{Im}(z)-\frac{3}{4}(2\mathrm{Re}(z))^2=0\\[12pt]
&\iff 3\mathrm{Im}^2(z)-2\sqrt{3}\mathrm{Re}(z)\mathrm{Im}(z)-3\mathrm{Re}^2(z)=0\\[12pt]
&\iff3\mathrm{Im}^2(z)-2\sqrt{3}\sqrt{1-\mathrm{Im}^2(z)}\ \mathrm{Im}(z)-3(1-\mathrm{Im}^2(z))=0\\[12pt]
&\iff6\mathrm{Im}^2(z)-3=2\sqrt{3}\mathrm{Im}(z)\sqrt{1-\mathrm{Im}^2(z)}\\[12pt]
&\iff 16\mathrm{Im}^4(z)-16\mathrm{Im}^2(z)+3=0\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}\mathrm{Im}^2(z)=\dfrac{3}{4}\\\text{ou}\\\mathrm{Im}^2(z)=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}|\mathrm{Im}(z)|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ e }|\mathrm{Re}(z)|=\dfrac{1}{2}\\\text{ou}\\|\mathrm{Im}(z)|=\dfrac{1}{2}\text{ e }|\mathrm{Re}(z)|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}z=e^{i(\frac{\pi}{3}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{2\pi}{3}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{\pi}{6}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{5\pi}{6}+k\pi)}\end{array}\right.\quad k\in\mathbb{Z}\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}e^x=\frac{\pi}{3}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\quad k\in\mathbb{N}\text{ já que }e^x>0\\[12pt]
&\iff e^x=k\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{N}^*\text{ e }k\neq 3p,\ p\in\mathbb{N}\quad\small\text{todos os múltiplos de }\frac{\pi}{6}\text{ menos os múltiplos de }\frac{\pi}{2}\\
&\iff x=\ln(k\frac{\pi}{6}),\quad k\in\mathbb{N}^*\text{ e }k\neq 3p,\ p\in\mathbb{N}\\
\end{align}
[/tex3]
3\sin^2(e^x) - 2 \sqrt3.\sin(e^x).\cos(e^x) - 3\cos^2(e^x) = 0\quad\textbf{(1)}\\[24pt]
\text{Seja }z=e^{ie^x}: \sin(e^x)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\text{ e }\cos(e^x)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\\
\text{e }|z|=1\text{ ou seja }\mathrm{Re}^2(z)+\mathrm{Im}^2(z)=1\\[24pt]
\begin{align}(1)&\iff \frac{3}{-4}(z-\overline{z})^2-\frac{2\sqrt{3}}{4i}(z+\overline{z})(z-\overline{z})-\frac{3}{4}(z+\overline{z})^2=0\\[12pt]
&\iff -\frac{3}{4}(i2\mathrm{Im}(z))^2-\frac{2\sqrt{3}}{4i}\cdot2\mathrm{Re}(z)\cdot i2\mathrm{Im}(z)-\frac{3}{4}(2\mathrm{Re}(z))^2=0\\[12pt]
&\iff 3\mathrm{Im}^2(z)-2\sqrt{3}\mathrm{Re}(z)\mathrm{Im}(z)-3\mathrm{Re}^2(z)=0\\[12pt]
&\iff3\mathrm{Im}^2(z)-2\sqrt{3}\sqrt{1-\mathrm{Im}^2(z)}\ \mathrm{Im}(z)-3(1-\mathrm{Im}^2(z))=0\\[12pt]
&\iff6\mathrm{Im}^2(z)-3=2\sqrt{3}\mathrm{Im}(z)\sqrt{1-\mathrm{Im}^2(z)}\\[12pt]
&\iff 16\mathrm{Im}^4(z)-16\mathrm{Im}^2(z)+3=0\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}\mathrm{Im}^2(z)=\dfrac{3}{4}\\\text{ou}\\\mathrm{Im}^2(z)=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}|\mathrm{Im}(z)|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ e }|\mathrm{Re}(z)|=\dfrac{1}{2}\\\text{ou}\\|\mathrm{Im}(z)|=\dfrac{1}{2}\text{ e }|\mathrm{Re}(z)|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}z=e^{i(\frac{\pi}{3}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{2\pi}{3}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{\pi}{6}+k\pi)}\\\text{ou}\\z=e^{i(\frac{5\pi}{6}+k\pi)}\end{array}\right.\quad k\in\mathbb{Z}\\[12pt]
&\iff \left\{\begin{array}{}e^x=\frac{\pi}{3}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\\text{ou}\\e^x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.\quad k\in\mathbb{N}\text{ já que }e^x>0\\[12pt]
&\iff e^x=k\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{N}^*\text{ e }k\neq 3p,\ p\in\mathbb{N}\quad\small\text{todos os múltiplos de }\frac{\pi}{6}\text{ menos os múltiplos de }\frac{\pi}{2}\\
&\iff x=\ln(k\frac{\pi}{6}),\quad k\in\mathbb{N}^*\text{ e }k\neq 3p,\ p\in\mathbb{N}\\
\end{align}
[/tex3]
-
LorenzoIM3 
- Mensagens: 17
- Registrado em: Sex 16 Jul, 2021 16:06
- Última visita: 10-03-22
Out 2021
07
10:41
Re: (ITA) Trigonometria
3 [tex3]sen^{2}(e^x)[/tex3]
- 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
sen([tex3]e^{x}[/tex3]
).cos([tex3]e^{x}[/tex3]
) -3 [tex3]cos^{2}(e^x)[/tex3]
=0
Agrupando
-3([tex3]cos^{2}(e^x) - sen^{2}(e^x)[/tex3] ) - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] sen([tex3]e^{x}[/tex3] ).cos([tex3]e^{x}[/tex3] )=0
Pelas relações trigonométricas temos que 2sen(x)cos(x)=sen2x e cos^2(x) - sen^2(x)=cos(2x)
substituindo pelas relações teremos que:
-3.[tex3]cos(2e^{x}) - \sqrt{3}[/tex3] .[tex3]sen(2e^{x})[/tex3] =0
colocando 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] como um fator em evidencia fazemos aparecer o seguinte:
2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .([tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] .[tex3]cos(2e^{x}) + \frac{1}{2}[/tex3] .[tex3]sen(2e^{x})[/tex3] )=0
como [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] é o cos de pi/6 e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é o sen pi/6
Depois de substituir por esses valores faça a diferença de cos(a-b)= cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) e depois é só completar a resolução.
Agrupando
-3([tex3]cos^{2}(e^x) - sen^{2}(e^x)[/tex3] ) - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] sen([tex3]e^{x}[/tex3] ).cos([tex3]e^{x}[/tex3] )=0
Pelas relações trigonométricas temos que 2sen(x)cos(x)=sen2x e cos^2(x) - sen^2(x)=cos(2x)
substituindo pelas relações teremos que:
-3.[tex3]cos(2e^{x}) - \sqrt{3}[/tex3] .[tex3]sen(2e^{x})[/tex3] =0
colocando 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] como um fator em evidencia fazemos aparecer o seguinte:
2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .([tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] .[tex3]cos(2e^{x}) + \frac{1}{2}[/tex3] .[tex3]sen(2e^{x})[/tex3] )=0
como [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] é o cos de pi/6 e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é o sen pi/6
Depois de substituir por esses valores faça a diferença de cos(a-b)= cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) e depois é só completar a resolução.
Última edição: LorenzoIM3 (Qui 07 Out, 2021 10:43). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
