IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação

[AngelitaB]

Sabendo que:(3-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

);(1+[tex3]\sqrt{-1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{-1}[/tex3]

)e [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]

,são raízes da equação de grau mínimo e de coeficientes reais cuja a forma canônica [tex3]x^{7} + \alpha x^{6} + \theta x^{5}[/tex3]

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[tex3]x^{7} + \alpha x^{6} + \theta x^{5}[/tex3]

+....+k=0;
calcule o valor de k.
a)36
b)-28
c)40
d)-24
e)32

Resposta

---

c

[Deleted User 23699]

Usando o teorema das raízes conjugadas:
Raízes: 1+i ; 1-i
[tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

; [tex3]3+\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3+\sqrt{2}[/tex3]

Já encontramos 4
Ele disse que os coeficientes são reais, e nas alternativa só temos números inteiros
Uma das outras 3 raízes foi dada, e o produto dela com as duas restantes precisa ser natural...
Se considerasse que essas três são iguais, o produto daria -28...


Não me lembro de um teorema para me dar mais duas raízes sabendo que 3v2 é raiz...

[rcompany]

Usando o teorema das raízes conjugadas:
Raízes: 1+i ; 1-i
[tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

; [tex3]3+\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3+\sqrt{2}[/tex3]

Já encontramos 4
Ele disse que os coeficientes são reais, e nas alternativa só temos números inteiros
Uma das outras 3 raízes foi dada, e o produto dela com as duas restantes precisa ser natural...
Se considerasse que essas três são iguais, o produto daria -28...


Não me lembro de um teorema para me dar mais duas raízes sabendo que 3v2 é raiz...

Não acho que [tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{2}[/tex3]

raiz de [tex3]P(x)\implies 3+\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]P(x)\implies 3+\sqrt{2}[/tex3]

raiz de [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

[tex3]3+\sqrt{2}\text{ e }3-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]3+\sqrt{2}\text{ e }3-\sqrt{2}[/tex3]

não são conjugados

Exemplo:

[tex3]q(x)=(x-(3-\sqrt{2}))(x-1)=0\\
3-\sqrt{2}\text{ é raiz}\\
q(3+\sqrt{2})=(3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=4\sqrt{2}+4\neq0

[/tex3]

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[tex3]q(x)=(x-(3-\sqrt{2}))(x-1)=0\\
3-\sqrt{2}\text{ é raiz}\\
q(3+\sqrt{2})=(3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=4\sqrt{2}+4\neq0

[/tex3]

[Deleted User 25040]

o polinômio precisa ter coeficientes racionais, a, b e r precisam ser racionais e [tex3]\sqrt{r}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{r}[/tex3]

irracional, ai vale [tex3]f(a+b\sqrt{r})=0\iff f(a-b\sqrt{r})=0[/tex3]

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[tex3]f(a+b\sqrt{r})=0\iff f(a-b\sqrt{r})=0[/tex3]