P(x)\text{ polinômio de grau 3}\implies P(x)=0\text{ admite }\left\{\begin{array}{l}\text{uma solução em }\mathbb{R}\text{ e duas em }\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}\\\text{ou}\\
\text{três soluçoes em }\mathbb{R}\end{array}\right.\\
\text{Vamos supor que existem três raízes positivas distintas reais }x_1,x_2,x_3\text{ tais que }0 < x_1 < x_2 < x_3\\
P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\implies \left\{\begin{array}{l}x > x_3\implies P(x) > 0\\ x_2 < x < x_3\implies P(x) < 0 \\x_1 < x < x_2 \implies P(x) > 0\\x < x_1\implies P(x) < 0 \\\end{array}\right.\\[24pt]
\text{e como }P(x)\text{ é contínuo em }\mathbb{R}\text{, existem }r'_0\in]x_1;x_2[\text{ tal que }P(x'_0) > 0 \text{ e }P(x'_0)\text{ máximo de }P(x) \text{ em }]x_1;x_2[\\\text{e }r'_1\in]x_2;x_3[\text{ tal que }P(x'_1)<0 \text{ e }P(x'_1)\text{ mínimo de }P(x) \text{ em }]x_2;x_3[\text{( ou senão teríamos limites infinitos em }x_2,\\\text{ incompatíveis com a continuidade de }P(x))\\
P'(x)=3x^2-30x+k=0 \text{ admite }r'_1,r'_2\text{ como raízes distintas, e então }900-12k>0,\text{ ou seja }k<75 \\
\text{e }x'_1=5-5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\text{ e }x'_2=5+5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\\[24pt]
P''(5)=0\implies x'_2=x_2\implies P(x_3)>0 \text{ já que }P\text{ estritamente crescente em }[x'_2;x_3]\text{ e }P(x'_2)\!=\!P(x_2)\!=0\\
\text{e portanto }P(x)=0 \text{ não pode admitir três raízes reais positivas.}\\[24pt]
\text{Supondo que }P(x)=0 \text{ admite uma única raiz real, temos:}\\
\forall x \in\mathbb{R},x^3-15x^2+kx=(x-x_1)^3=x^3-3x_1x^2+3x_1^2x-125\iff\left\{\begin{array}{l}3x_1=15\\3x_1^2=k\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l}x_1=5\\k=75\end{array}\right.\\
\text{e portanto }x_1+x_1^2+x_3^3=5+25+125=155
[/tex3]
P(x)\text{ polinômio de grau 3}\implies P(x)=0\text{ admite }\left\{\begin{array}{l}\text{uma solução em }\mathbb{R}\text{ e duas em }\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}\\\text{ou}\\
\text{três soluçoes em }\mathbb{R}\end{array}\right.\\
\text{Vamos supor que existem três raízes positivas distintas reais }x_1,x_2,x_3\text{ tais que }0 < x_1 < x_2 < x_3\\
P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\implies \left\{\begin{array}{l}x > x_3\implies P(x) > 0\\ x_2 < x < x_3\implies P(x) < 0 \\x_1 < x < x_2 \implies P(x) > 0\\x < x_1\implies P(x) < 0 \\\end{array}\right.\\[24pt]
\text{e como }P(x)\text{ é contínuo em }\mathbb{R}\text{, existem }r'_0\in]x_1;x_2[\text{ tal que }P(x'_0) > 0 \text{ e }P(x'_0)\text{ máximo de }P(x) \text{ em }]x_1;x_2[\\\text{e }r'_1\in]x_2;x_3[\text{ tal que }P(x'_1)<0 \text{ e }P(x'_1)\text{ mínimo de }P(x) \text{ em }]x_2;x_3[\text{( ou senão teríamos limites infinitos em }x_2,\\\text{ incompatíveis com a continuidade de }P(x))\\
P'(x)=3x^2-30x+k=0 \text{ admite }r'_1,r'_2\text{ como raízes distintas, e então }900-12k>0,\text{ ou seja }k<75 \\
\text{e }x'_1=5-5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\text{ e }x'_2=5+5\sqrt{1-\dfrac{k}{75}}\\[24pt]
P''(5)=0\implies x'_2=x_2\implies P(x_3)>0 \text{ já que }P\text{ estritamente crescente em }[x'_2;x_3]\text{ e }P(x'_2)\!=\!P(x_2)\!=0\\
\text{e portanto }P(x)=0 \text{ não pode admitir três raízes reais positivas.}\\[24pt]
\text{Supondo que }P(x)=0 \text{ admite uma única raiz real, temos:}\\
\forall x \in\mathbb{R},x^3-15x^2+kx=(x-x_1)^3=x^3-3x_1x^2+3x_1^2x-125\iff\left\{\begin{array}{l}3x_1=15\\3x_1^2=k\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l}x_1=5\\k=75\end{array}\right.\\
\text{e portanto }x_1+x_1^2+x_3^3=5+25+125=155
[/tex3]
Considere todos os pontos (b;c) de inteiros tais que |b| \leq 4 e |c| \leq 4 . Escolhendo-se, ao acaso, um desses pares (b;c). Então a probabilidade da equação x²+2bx+c=0 possuir raízes distintas e...
Seja K o número de soluções (x, y, z) inteiras para a equação 3x²+y²+z²=2x(y+z). Então o número de soluções reais distintas da equação \sqrt {a} + \sqrt {7-a} =3k é:
a)0
b)1
c)2
d4
e)5
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x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2=0 \rightarrow (x-y)^2+(x-z)^2+x^2=0
Solução única x=y=z=0 .
Se x1, x2 e x3 raízes da equação 2x³+ax²-ax+3=0, determine o valor real de (1-x1)(1-x2)(1-x3).
a)3
b)-2
c)-3
d) \frac{5}{2}
e)5
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Uma solução alternativa.
P(x) = 2x 3 + ax 2 + ax + 3 = 0
Sabe-se que o polinômio pode ser reescrito da seguinte forma:
P(x) = a 0 (x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 )
Fica fácil ver que P(1) é o resultado...
Dada a equação x³-x²+2x+1=0,de raízes a; b; c; Indique o valor da expressão \frac{1}{a+4} + \frac{1}{b+4} + \frac{1}{c+4} .
a) \frac{42}{57}
b) \frac{1}{57}
c) \frac{1}{42}
d)57
e) \frac{58}{87}
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Saudações, AngelitaB .
Apenas relembrando as relações de Girard em uma equação do 3o grau da forma ax³ + bx² + cx + d = 0
Se as equações 2 x^{4} +( a^{2} + b^{2} +13) x^{2} -c=0 e x^{4} +(2a-3b) x^{2} -ab=0,tem o mesmo conjunto solução. Calcule a+b+c.
a)5
b)-13
c)18
d)12
e)17