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Resposta
a) n = 3
IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Logarítmos Tópico resolvido
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Set 2021
24
11:44
(ITA - 1974) Logarítmos
Sendo a1, a2, ..., an números reais, o maior valor de n tal que as igualdades ao lado são verdadeiras é:
a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n.d.a.
a) n = 3
eu vi uma resolução em que usavam os valores de calculadora dos logs, mas deve haver algum jeito de fazer sem né, agradeço desde já
a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n.d.a.
a) n = 3
Editado pela última vez por ALDRIN em 27 Set 2021, 13:52, em um total de 1 vez.
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csmarcelo
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Set 2021
24
17:54
Re: (ITA - 1974) Logarítmos
[tex3]10^6<1234578<10^7[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}123478=a_1\implies10^{a_1}=1234578[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}a_1=a_2\implies10^{a_2}=a_1\implies10^{10^{a_2}}=1234578[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}a_2=a_3\implies10^{a_3}=a_2\implies10^{10^{10^{a_3}}}=1234578[/tex3]
Seguindo a lógica, temos que:
[tex3]\large10^{10^{10^{...^{10^{a_n}}}}}=1234578[/tex3] , onde o 10 aparece [tex3]n[/tex3] vezes.
A restrição é que [tex3]a_n[/tex3] é o primeiro valor negativo possível, pois não existe logaritmando negativo.
[tex3]\large n=1\implies10^{a_1}=1234578\implies 6< a_1<7[/tex3]
[tex3]\large n=2\implies10^{10^{a_2}}=1234578\implies 6< 10^{a_2}<7\implies0< a_2<1[/tex3]
[tex3]\large n=3\implies10^{10^{^{10^{a_3}}}}=1234578\implies 6< 10^{10^{a_3}}<7\implies0< 10^{a_3}<1\implies a_3<0[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}123478=a_1\implies10^{a_1}=1234578[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}a_1=a_2\implies10^{a_2}=a_1\implies10^{10^{a_2}}=1234578[/tex3]
[tex3]\large\log_{10}a_2=a_3\implies10^{a_3}=a_2\implies10^{10^{10^{a_3}}}=1234578[/tex3]
Seguindo a lógica, temos que:
[tex3]\large10^{10^{10^{...^{10^{a_n}}}}}=1234578[/tex3] , onde o 10 aparece [tex3]n[/tex3] vezes.
A restrição é que [tex3]a_n[/tex3] é o primeiro valor negativo possível, pois não existe logaritmando negativo.
[tex3]\large n=1\implies10^{a_1}=1234578\implies 6< a_1<7[/tex3]
[tex3]\large n=2\implies10^{10^{a_2}}=1234578\implies 6< 10^{a_2}<7\implies0< a_2<1[/tex3]
[tex3]\large n=3\implies10^{10^{^{10^{a_3}}}}=1234578\implies 6< 10^{10^{a_3}}<7\implies0< 10^{a_3}<1\implies a_3<0[/tex3]
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