IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2014) Geometria Analítica Tópico resolvido

[LorenzoIM3]

Quantas unidades de área possui a região plana limitada pela curva de equação [tex3]x = 1 - \sqrt{1 - y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 1 - \sqrt{1 - y^2}[/tex3]

e pelas retas [tex3]2y + x - 3 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2y + x - 3 = 0[/tex3]

, [tex3]2y - x + 3 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2y - x + 3 = 0[/tex3]

e [tex3]x = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 2[/tex3]

?

a) π + 1/2

b) π + 3/2

c) π/2 + 1

d) π + 3

e) π/2 + 3/2

Resposta

---

E

[rcompany]

[tex3]
x=1-\sqrt{1-y^2}\text{ equação do meio circulo de raio 1 e centro }(1;0)\text{ com }0\leqslant x\leqslant1\quad\quad\tiny(x-1=-\sqrt{1-y^2}\implies x-1\leqslant0\implies x\leqslant1)\\
\begin{array}{rl}
\left.\begin{array}{rl}
x_0=1-\sqrt{1-y_0^2}\\
y_0=-\dfrac{x_0}{2}+\dfrac{3}{2}
\end{array}\right\}
&\implies
\left\{\begin{array}{l}
y_0^2=-(x_0-1)^2+1\\
y_0^2=\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{3}{2}x_0+\dfrac{9}{4}
\end{array}\right.\\
&\implies
-x_0^2+2x_0+2=\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{3}{2}x_0+\dfrac{9}{4}\\
&\implies x_0=1\text{ ou }x_0=\dfrac{9}{5}\\
&\implies x_0=1 \quad\quad\text{já que }x_0\leqslant1\\
&\implies y_0=1
\end{array}\\[96pt]

\left.\begin{array}{rl}
x_1=1-\sqrt{1-y_1^2}\\
y_1=\dfrac{x_1}{2}-\dfrac{3}{2}
\end{array}\right\}
\implies x_1=1\text{ e }y_1=-1\\[36pt]
\text{a intersecção entre o meio-círculo e as duas primeiras retas se dá respetivamente em }(1;1)\text{ e }(1;-1)\\
\text{Não tem intersecção entre o meio-círculo e a terceira reta }x=2\text{ já que no meio-círculo }x\leqslant 1\\
\text{e a terceira reta cruza a primeira em }(2;\frac{1}{2})\text{ e a segunda em }(2;-\frac{1}{2})\\[24pt]
\text{A área procurada é a soma da área do meio-círculo, da área entre o eixo das abscissas entre 1 e 2 e a primeira reta}\\\text{e da área entre o eixo das abscissas entre 1 e 2 e a segunda reta} \\[24pt]
\begin{array}{rl}
A&=\dfrac{\pi}{2}+\displaystyle\int_1^2\!\!(-\dfrac{t}{2}+\dfrac{3}{2})\mathrm{d}t -\int_1^2\!\!(\dfrac{t}{2}-\dfrac{3}{2})\mathrm{d}t\quad\quad\text{já que }-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}>0\text{ e }\frac{x}{2}-\frac{3}{2}<0\text{ em }[1;2]\\
&=\dfrac{\pi}{2}+\left[-\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{3}{2}t\right]_1^2-\left[\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{3}{2}t\right]_1^2\\
&=\dfrac{\pi}{2}-1+\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}-1+\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\\
&=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3}{2}



\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
x=1-\sqrt{1-y^2}\text{ equação do meio circulo de raio 1 e centro }(1;0)\text{ com }0\leqslant x\leqslant1\quad\quad\tiny(x-1=-\sqrt{1-y^2}\implies x-1\leqslant0\implies x\leqslant1)\\
\begin{array}{rl}
\left.\begin{array}{rl}
x_0=1-\sqrt{1-y_0^2}\\
y_0=-\dfrac{x_0}{2}+\dfrac{3}{2}
\end{array}\right\}
&\implies
\left\{\begin{array}{l}
y_0^2=-(x_0-1)^2+1\\
y_0^2=\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{3}{2}x_0+\dfrac{9}{4}
\end{array}\right.\\
&\implies
-x_0^2+2x_0+2=\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{3}{2}x_0+\dfrac{9}{4}\\
&\implies x_0=1\text{ ou }x_0=\dfrac{9}{5}\\
&\implies x_0=1 \quad\quad\text{já que }x_0\leqslant1\\
&\implies y_0=1
\end{array}\\[96pt]

\left.\begin{array}{rl}
x_1=1-\sqrt{1-y_1^2}\\
y_1=\dfrac{x_1}{2}-\dfrac{3}{2}
\end{array}\right\}
\implies x_1=1\text{ e }y_1=-1\\[36pt]
\text{a intersecção entre o meio-círculo e as duas primeiras retas se dá respetivamente em }(1;1)\text{ e }(1;-1)\\
\text{Não tem intersecção entre o meio-círculo e a terceira reta }x=2\text{ já que no meio-círculo }x\leqslant 1\\
\text{e a terceira reta cruza a primeira em }(2;\frac{1}{2})\text{ e a segunda em }(2;-\frac{1}{2})\\[24pt]
\text{A área procurada é a soma da área do meio-círculo, da área entre o eixo das abscissas entre 1 e 2 e a primeira reta}\\\text{e da área entre o eixo das abscissas entre 1 e 2 e a segunda reta} \\[24pt]
\begin{array}{rl}
A&=\dfrac{\pi}{2}+\displaystyle\int_1^2\!\!(-\dfrac{t}{2}+\dfrac{3}{2})\mathrm{d}t -\int_1^2\!\!(\dfrac{t}{2}-\dfrac{3}{2})\mathrm{d}t\quad\quad\text{já que }-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}>0\text{ e }\frac{x}{2}-\frac{3}{2}<0\text{ em }[1;2]\\
&=\dfrac{\pi}{2}+\left[-\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{3}{2}t\right]_1^2-\left[\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{3}{2}t\right]_1^2\\
&=\dfrac{\pi}{2}-1+\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}-1+\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}\\
&=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3}{2}



\end{array}
[/tex3]