É por isso que a primeira coisa que você testa antes de rotacionar é se é um conjunto vazio, ou um ponto ou duas retas.
[tex3]x^2+(y-2)x+3y^2+4y+5=0[/tex3]
[tex3]\Delta = y^2-4y+4-12y^2-16y-20=-11y^2-20y-16[/tex3]
Que é sempre negativo, basta completar os quadrados pra ver.
Aí depois você tenta as cônicas. Esse jeito que você tá fazendo realmente é muita conta, por isso que tem duas propriedades que você precisa saber pra resolver esse tipo de questão rapidamente.
Primeira coisa é sumir com os termos lineares (ou seja, centralizar a cônica na origem). Pra fazer isso, sendo [tex3]P(x,y)[/tex3]
a cônica, você deve resolver o sistema
[tex3]\frac{\partial P(x,y)}{\partial x}|_{(x_0, y_0)}=0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}|_{(x_0, y_0)}=0[/tex3]
Determinado [tex3](x_0, y_0)[/tex3]
, você substitui de volta na cônica e vai encontrar um valor [tex3]F'[/tex3]
.
A cônica sem os termos lineares será
[tex3]Au^2+Buv+Cv^2+F'=0[/tex3]
E agora você rotaciona.
Após uma rotação, [tex3]A+C[/tex3]
e [tex3]B^2-4AC[/tex3]
são invariantes. Da cônica original, temos A, B e C. Na nova cônica, queremos descobrir A' e C', e sabemos que B'=0 para sumir com o termo misto. Aí você cai numa equação de segundo grau em A' e C', por exemplo:
[tex3]A'+C'=4[/tex3]
[tex3]-4A'C'=1-4.1.3[/tex3]
Você tem a soma e o produto de A' e C', que é uma equação de segundo grau.
Se você quiser um exemplo numérico:
viewtopic.php?t=50063
Se você quiser as demonstrações:
https://rumoaoita.com/wp-content/upload ... as_ita.pdf
Edit: esqueci de dizer. Se não tiver solução o sistema pra encontrar o centro, é porque a cônica é uma parábola. Nesse caso o único jeito é fazer a rotação na mão mesmo, mas isso só se a questão pedir a forma rotacionada da cônica, porque você já vai ter todas as informações (qual cônica, ângulo de rotação), só não vai saber a expressão dela.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
)
eu teria de ficar 50 min em uma questão que provavelmente é feita pra ser resolvida em 5 min.
Muito interessante essa técnica de achar o centro da cônica. Obrigado!
