IME / ITA ⇒ (Chile) Equação

[AngelitaB]

Se (x² - 3x -4)³+(2x² - 5x +3)³=(3x² - 2x - 1)³, então a diferença entre a maior raiz e a menor raiz real desta equação é igual a:
a)5
b)6
c)7
d)[tex3]\frac{13}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{13}{2}[/tex3]

e)[tex3]\frac{11}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{11}{2}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]\begin{align}
f(x)&=(x^2-3x-4)^3+(2x^2-5x+3)^3-(3x^2-2x-1)^3\\[6pt]
&=(x-1)^3(x+4)^3+(x-1)^3(2x-3)^3+(x-1)^3(3x+1)^3\\[6pt]
&=(x-1)^3\cdot\left[(x+4)^3+(2x-3)^3-(3x+1)^3\right]\quad\quad\small\text{Notem que }(3x+1)-(x+4)=2x-3\\[6pt]
&=(x-1)^3\cdot\left[(2x-3)^3+(x+4-3x-1)\left((x+4)^2+(x+4)(3x+1)+(3x+1)^2\right)\right]\\[6pt]
&=(x-1)^3(2x-3)\left[(2x-3)^2-(x^2+8x+16+3x^2+13x+4+9x^2+6x+1)\right]\\[6pt]
&=2(x-1)^3(x-\frac{3}{2})\cdot(4x^2-12x+9-x^2-8x-16-3x^2-13x-4-9x^2-6x-1)\\[6pt]
&=2(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(-9x^2-39x-12)\\[6pt]
&=-6(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(3x^2+13x-4)\\[6pt]
&=-18(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(x+4)(x+\frac{1}{3})\\[12pt]
\end{align}\\
\text{As raízes são }-4,-\frac{1}{3},1 \text{ e }\frac{3}{2}\text{ e a maior distancia entre uma e outra é }\frac{11}{2}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}
f(x)&=(x^2-3x-4)^3+(2x^2-5x+3)^3-(3x^2-2x-1)^3\\[6pt]
&=(x-1)^3(x+4)^3+(x-1)^3(2x-3)^3+(x-1)^3(3x+1)^3\\[6pt]
&=(x-1)^3\cdot\left[(x+4)^3+(2x-3)^3-(3x+1)^3\right]\quad\quad\small\text{Notem que }(3x+1)-(x+4)=2x-3\\[6pt]
&=(x-1)^3\cdot\left[(2x-3)^3+(x+4-3x-1)\left((x+4)^2+(x+4)(3x+1)+(3x+1)^2\right)\right]\\[6pt]
&=(x-1)^3(2x-3)\left[(2x-3)^2-(x^2+8x+16+3x^2+13x+4+9x^2+6x+1)\right]\\[6pt]
&=2(x-1)^3(x-\frac{3}{2})\cdot(4x^2-12x+9-x^2-8x-16-3x^2-13x-4-9x^2-6x-1)\\[6pt]
&=2(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(-9x^2-39x-12)\\[6pt]
&=-6(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(3x^2+13x-4)\\[6pt]
&=-18(x-1)^3(x-\frac{3}{2})(x+4)(x+\frac{1}{3})\\[12pt]
\end{align}\\
\text{As raízes são }-4,-\frac{1}{3},1 \text{ e }\frac{3}{2}\text{ e a maior distancia entre uma e outra é }\frac{11}{2}
[/tex3]