IME / ITA ⇒ (India) Equação

[AngelitaB]

A equação (x+1)(x²+1)(x³+1)=30x³ admite as raízes [tex3]\frac{a\pm \sqrt{b}}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a\pm \sqrt{b}}{c}[/tex3]

,tal que a+b+c é igual:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

[IvanYamasaki]

temos [tex3](x+1)(x²+1)(x³+1)=30x³[/tex3]

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[tex3](x+1)(x²+1)(x³+1)=30x³[/tex3]

, vamos fazer algumas manipulações algébricas...
primeiro lembre da fatoração [tex3]a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)[/tex3]

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[tex3]a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)[/tex3]

, vamos aplicá-la no terceiro fator:

[tex3]
30x³=(x+1)(x²+1)(x³+1)\\
30x³=(x+1)(x²+1)(x+1)(x²-x+1)\\
30x³=(x+1)²(x²+1)(x²-x+1)\\
30x³=(x²+2x+1)(x²+1)(x²-x+1)\\
30 = \frac{(x²+1+2x)}{x}\frac{(x²+1)}{x}\frac{(x²+1-x)}{x}\\
30 = \left(x+\frac{1}{x}+2\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}-1\right)\\
[/tex3]

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[tex3]
30x³=(x+1)(x²+1)(x³+1)\\
30x³=(x+1)(x²+1)(x+1)(x²-x+1)\\
30x³=(x+1)²(x²+1)(x²-x+1)\\
30x³=(x²+2x+1)(x²+1)(x²-x+1)\\
30 = \frac{(x²+1+2x)}{x}\frac{(x²+1)}{x}\frac{(x²+1-x)}{x}\\
30 = \left(x+\frac{1}{x}+2\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}-1\right)\\
[/tex3]

para facilitar a visualização, façamos a substituição
[tex3]m=x+\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]m=x+\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]30 = \left(m+2\right)\left(m\right)\left(m-1\right)\\
2.3.5 = \left(m-1\right)\left(m\right)\left(m+2\right)
[/tex3]

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[tex3]30 = \left(m+2\right)\left(m\right)\left(m-1\right)\\
2.3.5 = \left(m-1\right)\left(m\right)\left(m+2\right)
[/tex3]

com isso, fica fácil perceber que [tex3]m=3[/tex3]

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[tex3]m=3[/tex3]

, ou seja:
[tex3]
x+\frac{1}{x}=3\\
x²-3x+1 = 0\\
x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}
[/tex3]

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[tex3]
x+\frac{1}{x}=3\\
x²-3x+1 = 0\\
x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}
[/tex3]

por fim: [tex3]a+b+c = 3+5+2 = 10[/tex3]

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[tex3]a+b+c = 3+5+2 = 10[/tex3]