IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Geometria Analítica

[AngelitaB]

Uma reta passa pelo vértice M do quadrado MNPQ (pontos dispostos em sentido horário nos vértices) intersecta a reta PQ no ponto A e a reta NP no ponto B. Sabendo que a área do circulo circunscrito ao quadrado MNPQ é 8 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

u.a, então o valor de [tex3]\frac{1}{MA^{2}} + \frac{1}{MB^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{MA^{2}} + \frac{1}{MB^{2}}[/tex3]

é:
a)[tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

b)[tex3]\frac{2}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{15}[/tex3]

c)[tex3]\frac{4}{49}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{49}[/tex3]

d)[tex3]\frac{1}{25}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{25}[/tex3]

e)[tex3]\frac{65}{128}[/tex3]

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[tex3]\frac{65}{128}[/tex3]

[petras]

AngelitaB,

[tex3]\mathsf{S = \pi r^2 = 8 \pi\rightarrow r = \sqrt{8 }=2\sqrt{2} \\
2r = Diagonal~Quadrado \rightarrow l\sqrt2 = 4\sqrt2\therefore \boxed{l=4}\\
T. Pit~ \triangle QAM: MA^2 = QA^2 + l^2 \therefore \boxed{MA^2= QA^2 + 16}(I)\\
T. Pit~ \triangle MNB: MB^2 = NB^2 + l^2 \therefore \boxed{MB^2= NB^2 + 16}(II)\\
\triangle MQA \sim APB (A.A.): \frac{PB}{l}=\frac{l - QA}{QA}\rightarrow \frac{PB}{4} = \frac{4-QA}{QA}\rightarrow\\
PB = 4(\frac{4-QA}{QA})(III)\\
NB = l+PB = 4+PB(IV)\\
(IV)em (III):NB = 4+ \frac{16-4QA}{QA}\therefore \boxed{NB =\frac{16}{QA}}(V)\\
\frac{1}{\underbrace{MA^2}}_{=I}+\frac{1}{\underbrace {MB^2}}_{=(II)}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{\underbrace{NB^2}_{=(IV)}+16}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{(\frac{16}{QA})^2+16}=\\
\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{NB^2+16}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{QA^2}{16^2+16QA^2}=\\
\frac{(16+QA^2)}{16(16+QA^2)}=\frac{1}{16}\\
\therefore \boxed {\color{red} \frac{1}{MA^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{1}{16}}

(Fonte : colega Felipe)







} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S = \pi r^2 = 8 \pi\rightarrow r = \sqrt{8 }=2\sqrt{2} \\
2r = Diagonal~Quadrado \rightarrow l\sqrt2 = 4\sqrt2\therefore \boxed{l=4}\\
T. Pit~ \triangle QAM: MA^2 = QA^2 + l^2 \therefore \boxed{MA^2= QA^2 + 16}(I)\\
T. Pit~ \triangle MNB: MB^2 = NB^2 + l^2 \therefore \boxed{MB^2= NB^2 + 16}(II)\\
\triangle MQA \sim APB (A.A.): \frac{PB}{l}=\frac{l - QA}{QA}\rightarrow \frac{PB}{4} = \frac{4-QA}{QA}\rightarrow\\
PB = 4(\frac{4-QA}{QA})(III)\\
NB = l+PB = 4+PB(IV)\\
(IV)em (III):NB = 4+ \frac{16-4QA}{QA}\therefore \boxed{NB =\frac{16}{QA}}(V)\\
\frac{1}{\underbrace{MA^2}}_{=I}+\frac{1}{\underbrace {MB^2}}_{=(II)}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{\underbrace{NB^2}_{=(IV)}+16}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{(\frac{16}{QA})^2+16}=\\
\frac{1}{QA^2+16}+\frac{1}{NB^2+16}=\frac{1}{QA^2+16}+\frac{QA^2}{16^2+16QA^2}=\\
\frac{(16+QA^2)}{16(16+QA^2)}=\frac{1}{16}\\
\therefore \boxed {\color{red} \frac{1}{MA^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{1}{16}}

(Fonte : colega Felipe)







} [/tex3]