IME / ITA ⇒ (IME) Combinatória Tópico resolvido

[jgcunha1]

Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas diagonais são traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono?

Não entendi a seguinte solução, se algm puder me explicar agradeço

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Resposta

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70

[Deleted User 23699]

Número de diagonais no polígono:
n.(n-3)

Número de diagonais em cada vértice do polígono (só dividir o de cima pelo número de vértices, n):
(n-3)
Quero traçar essas n-3 diagonais
Vamos começar pela menorzinha:
Trace a menor diagonal possível num octógono, isto é, VÉRTICE(A)-PULA-VÉRTICE.
Quantas diagonais vão passar por ela?
Note que as diagonais que passam por ela são as diagonais do vértice que foi pulado, isto é, n-3.
Isto dá 5 interseções.

Para a segunda menor, isto é, VÉRTICE(A)-PULA-PULA-VÉRTICE, temos que contar quantas diagonais passam por essa que desenhamos.
Note que 4 vértices ficam de fora, VÉRTICE-PULA-PULA-VÉRTICE-1-2-3-4
Temos que contar as diagonais que saem de 1 e chegam em PULA(1) e que saem de 1 e chegam em PULA(2)
A mesma coisa para 1,2,3,4
São 2 diagonais para cada um.
Isso dá 8 intersecções.

Agora vamos para a terceira, que (para nossa alegria) é a última, pois VÉRTICE(A)-PULA-PULA-VÉRTICE é igual a VÉRTICE-PULA-PULA-PULA-PULA-VÉRTICE.
VÉRTICE-PULA-PULA-PULA-VÉRTICE
Ficam 3 pontos de fora, e cada um desses 3 pontos faz 3 diagonais com os PULA
Então dá 9 interseções.

Temos que somar:
5+8+9+8+5
35

A múltiplicação por 8 é porque a gente fixou na hora de contar: veja que eu sempre mencionei VÉRTICE(A). Mas são 8 vértices, não só o A.
E a divisão por 4 é a parte mais difícil (pelo menos pra mim).
É uma visão de simetria um pouco mais complicada, eu acho.