IME / ITA ⇒ Escola Naval 2011 Tópico resolvido

[GauchoEN]

Sendo x e y números reais, a soma de todos os valores de x e de y, que satisfazem ao sistema [tex3]\begin{cases}
x^{y}=\frac{1}{y^{2}} \\
y^{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x^{y}=\frac{1}{y^{2}} \\
y^{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}
\end{cases}[/tex3]

vale:

Resposta

---

Gabarito: 9/2

[JohnnyEN]

olá,

[tex3]x^y= y^{-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^y= y^{-2}[/tex3]

[tex3]y = x^{\frac{-y}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = x^{\frac{-y}{2}}[/tex3]

substituindo na segunda equação:

[tex3]x^{\frac{-yx}{2}}= x^{-\frac{1}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{\frac{-yx}{2}}= x^{-\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]xy =1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xy =1 [/tex3]

ai temos dois casos possiveis

um em que x =1 logo y = 1 ou [tex3]x = \frac{1 }{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{1 }{y}[/tex3]

sendo valores diferentes de 1

aplicando na primeira equação


[tex3]y = y ^{\frac{y }{2}}\therefore \frac{y}{2}=1\rightarrow y= 2;x=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = y ^{\frac{y }{2}}\therefore \frac{y}{2}=1\rightarrow y= 2;x=\frac{1}{2}[/tex3]

fazendo a soma:

[tex3]\frac{1}{2}+2+1+1=\frac{9}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}+2+1+1=\frac{9}{2}[/tex3]