IME / ITApolinomios

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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renanlelo77
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polinomios

Mensagem não lida por renanlelo77 »

Determine os valores reais de a e b, para os quais as equações [tex3]x^{3}[/tex3] + a [tex3]x^{2}[/tex3] + 18 = 0 e [tex3]x^{3}[/tex3] + bx + 12 = 0 tem duas raízes comuns.

resposta: a = 1 e b= 2




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jomatlove
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Re: polinomios

Mensagem não lida por jomatlove »

Resolução
[tex3]x^{3}+ax^2+18=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow S_{1}=(p,q,m)[/tex3]
[tex3]x^{3}+bx+12=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow S_{2}=(p,q,n)[/tex3]
Por Girard :
[tex3]\begin{cases}
p+q +m=-a. .....(1)\\
pqm=-18................(2)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
p+q+n=0 .......(3)\\
pqn=-12.................(4)
\end{cases}[/tex3]
Fazendo (2)÷(4) :
[tex3]\frac{pqm}{ p qn}=\frac{-18}{-12}[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{3}{2}[/tex3]
Fazendo (1)-(3):
[tex3]m-n =-a [/tex3]
[tex3]m-\frac{2m}{3}=-a[/tex3]
[tex3]\frac{m}{3}=-a\rightarrow m=-3a[/tex3]
Substituindo na primeira equação:
[tex3](-3a)^{3}+a(-3a)^2+18=0[/tex3]
[tex3]-27a^3+9a^3+18=0[/tex3]
[tex3]-18a^3=-18\rightarrow a=1[/tex3]

Tente encontrar b!



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valeferreira
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Mai 2021 17 09:14

Re: polinomios

Mensagem não lida por valeferreira »

O b não consegui encontrar. Pela relacao pq + pn + qn = b.



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jomatlove
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Re: polinomios

Mensagem não lida por jomatlove »

Continuando:
Sendo [tex3]m=-3a [/tex3] [tex3]\vee a=1\rightarrow m=-3
[/tex3] .............. (raiz da 1° equação)
Também temos:
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{-3}{n}=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]n=-2 [/tex3] ..........(raiz da 2° equação)
Agora,substituímos n=-2 na 2° equação para obter o valor de b.
[tex3](-2)^{3}+b(-2)+12=0[/tex3]
[tex3]-8-2b+12=0[/tex3]
[tex3]-2b = -4\rightarrow b=2[/tex3]



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