IME / ITA(Simulado-Epcar) Polinômio

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AngelitaB
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(Simulado-Epcar) Polinômio

Mensagem não lida por AngelitaB »

Para um determinado número complexo c, o polinômio p(x)=(x² - 2x + 2)(x² - cx +4)(x² - 4x +8) tem exatamente 4 raízes distintas. Qual o valor de |c|?




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NathanMoreira
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Re: (Simulado-Epcar) Polinômio

Mensagem não lida por NathanMoreira »

Vamos analisar as raízes do polinômio:
[tex3]\text{p(x)}=(x^2- 2x + 2).(x^2 - cx +4).(x^2 - 4x +8)[/tex3]

[tex3]x^2- 2x + 2=0[/tex3]
[tex3]\Delta=(-2)^2-4.1.2 [/tex3]
[tex3]\Delta=4-8 [/tex3]
[tex3]\Delta=-4 [/tex3]
Portanto, duas raízes distintas:

[tex3]x^2 - 4x +8=0[/tex3]
[tex3]\Delta=(-4)^2-4.1.8 [/tex3]
[tex3]\Delta=16-32 [/tex3]
[tex3]\Delta=-16[/tex3]
Outras duas raízes distintas.

Então, para que hajam apenas quatro raízes distintas, as outras duas raízes do polinômio do segundo grau precisam ser iguais, ou seja, o discriminante dela precisa ser igual a zero.
[tex3]x^2 - cx +4=0[/tex3]
[tex3]\Delta=(-c)^2-4.1.4 [/tex3]
[tex3]\Delta=c^2-16 [/tex3]
[tex3]c^2-16=0[/tex3]
[tex3]c^2=16[/tex3]
[tex3]c=\pm 4[/tex3]

Como ele quer o valor em módulo:
[tex3]{\color{red}\boxed{|c|=4} }[/tex3]

Última edição: NathanMoreira (Dom 16 Mai, 2021 16:33). Total de 1 vez.


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