IME / ITA

Mensagem não lida por **triplebig** » 09 Fev 2009, 23:40

O número complexo

[tex3]z=\frac{1-\cos a}{\text{sen}a\cdot \cos a}+i\cdot\frac{1-2\cos a+2\text{sen}a}{\text{sen}2a}[/tex3]

tem argumento [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] . Neste caso, [tex3]a[/tex3] é igual a:

[tex3]A.\;\frac{\pi}{6} \\
\vspace{4} \\
B.\;\frac{\pi}{3} \\
\vspace{4} \\
C.\;\frac{\pi}{4} \\
\vspace{4} \\
D.\;\frac{\pi}{5} \\
\vspace{4} \\
E.\;\frac{\pi}{9} \\
\vspace{4} \\[/tex3]

Resposta

A

Como o argumento é [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] e [tex3]\text{cos\,\left(\frac{\pi }{4}\right)=sen\left(\frac{\pi }{4}\right)[/tex3] , temos que [tex3]\text{Re(z)=Im(z)}[/tex3] .

[tex3]\frac{2-2cosa}{2sena\cdot cosa}=\frac{1-2cosa+2sena}{2sena\cdot cosa} \\ \, \\ 2-2cosa=1-2cosa+2sena \\ sena=\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta : Letra [tex3]A[/tex3] .

Mensagem não lida por **SBAN** » 29 Out 2023, 20:21

Eu resolvi assim. a questão nos Fala que o argumento de [tex3]Z[/tex3] é [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] . A pergunta é o que é o argumento de Z? o argumento de Z é o angulo [tex3]\theta[/tex3] que usamos quando escrevemos na forma trigonométrica. obtermos ele pela seguinte relação

[tex3]Cos(\theta)=\frac{X}{\rho}[/tex3]
[tex3]Sen(\theta)=\frac{Y}{\rho}[/tex3]

Manipulando esse sistema temos

[tex3]\frac{Sen(\theta)}{Cos(\theta)}=\frac{\frac{Y}{\rho}}{\frac{X}{\rho}}[/tex3]

[tex3]\boxed{Tg(\theta)=\frac{Y}{X}}[/tex3]

Como o argumento é [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] então [tex3]\theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Substituindo Theta por [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] temos

[tex3]Tg\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{Y}{X}[/tex3]

[tex3]1=\frac{Y}{X}[/tex3]

[tex3]\boxed{X=Y}[/tex3]

Agora basta Pegarmos a parte Real e a parte imaginaria de Z e substituir no problema e achar o valor de A

[tex3]X=\frac{1-Cos(a)}{Sen(a)Cos(a)}[/tex3]

[tex3]Y=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

Fazendo X=Y

[tex3]\frac{1-Cos(a)}{Sen(a)Cos(a)}=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

Agora basta resolver a equação trigonométrica

[tex3]\frac{1-Cos(a)}{Sen(a)Cos(a)}=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{2}\cdot \frac{1-Cos(a)}{Sen(a)Cos(a)}=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

[tex3] \frac{2-2Cos(a)}{2Sen(a)Cos(a)}=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

[tex3] \frac{2-2Cos(a)}{Sen(2a)}=\frac{1-2cos(a)+2sen(a)}{Sen(2a)}[/tex3]

[tex3] 2-2cos(a)=1-2cos(a)+2sen(a)[/tex3]

[tex3] 2=1+2sen(a)[/tex3]

[tex3] 1=2sen(a)[/tex3]

[tex3] \frac{1}{2}=sen(a)[/tex3]

[tex3] a=ArcSen\left(\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3] \boxed{a=\frac{\pi}{6}}[/tex3]

Lembrando que domínio de Z vai de ]0,[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] [

IME / ITA ⇒ (ITA - 2001) Números Complexos

(ITA - 2001) Números Complexos

Re: (ITA - 2001) Números Complexos

Re: (ITA - 2001) Números Complexos

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar

IME / ITA ⇒ (ITA - 2001) Números Complexos

(ITA - 2001) Números Complexos

Re: (ITA - 2001) Números Complexos

Re: (ITA - 2001) Números Complexos

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar

EntrarcRegistrar