Olá! Recentemente me deparei com uma questão que me deixou com uma pulga atrás da orelha.
Eu tentei resolver a questão do meu jeito, e não encontrei o resultado correto. Olhei o gabarito, e fiz de outro jeito, tentando chegar na resposta. Consegui. O que me deixou com dúvida foi o fato de a primeira forma não ter dado certo. Eis a questão:
(UF-MS) Resolva, em reais, a equação: √(x²-2x+1) = x-1.
1) Forma correta de resolver:
Como x²-2x+1 = (x-1)², então √(x²-2x+1) = x-1 => √[(x-1)²] = x-1. Não sabemos se x-1 é maior ou igual a 0, então √[(x-1)²] = | x-1 |. Assim, teremos | x-1 | = x-1. Resolvendo essa equação modular:
Primeiro caso
Supondo x-1 >= 0, ou seja, x >= 1, a equação será escrita como x-1 = x-1. A solução para essa equação é qualquer valor real de x. Entretanto, supomos antes x >= 1, portanto a solução para esse primeiro caso é todo valor real de x, tal que x >=1.
Segundo caso
Supondo x-1 < 0, ou seja, x < 1, a equação será escrita como -x+1 = x-1. Resolvendo: -x+1 = x-1 => -x-x = -1-1 => -2x = -2 => x = 1. Todavia, supomos antes x < 1, logo não há soluções para o segundo caso.
Resposta correta: S = {x real | x >= 1}.
2) Forma incorreta pela qual tentei fazer antes, mas não entendi por quê não deu certo:
Eu tentei simplesmente eliminar essa raiz para chegar numa equação mais simples, então elevei os dois membros ao quadrado.
[√(x²-2x+1)]² = (x-1)²
Eu sabia que x²-2x+1 já era um quadrado (o quadrado de x-1, nesse caso), e qualquer quadrado de um número real será maior ou igual a zero. Portanto, eliminei da raiz direto. Fiquei com x²-2x+1 = (x-1)² => x²-2x+1 = x²-2x+1. Como os dois membros da equação são exatamente iguais, a solução será qualquer valor real.
Tentei resolver não eliminado a raiz rapidamente, considerando [√(x²-2x+1)]² = |x²-2x+1|, e cheguei na mesma resposta.
Resposta incorreta: S = conjunto dos reais.
Por favor, alguém poderia me explicar o porquê de minha resposta não ter dado certo?
IME / ITA ⇒ Dúvida sobre questão
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2021
02
12:22
Re: Dúvida sobre questão
RumoAoITA2022,
[tex3]\sqrt{a}=b\rightarrow b \geq 0[/tex3]
Uma das condições da existência é que b >= 0 pois será o resultado de uma raiz quadrada portanto na questão a condição inicial é que x - 1 [tex3]\geq 0[/tex3] , ou seja qualquer análise da solução deverá levar em com essa C.E.
[tex3]\sqrt{a}=b\rightarrow b \geq 0[/tex3]
Uma das condições da existência é que b >= 0 pois será o resultado de uma raiz quadrada portanto na questão a condição inicial é que x - 1 [tex3]\geq 0[/tex3] , ou seja qualquer análise da solução deverá levar em com essa C.E.
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