IME / ITADúvida sobre questão

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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RumoAoITA2022
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Mai 2021 02 11:54

Dúvida sobre questão

Mensagem não lida por RumoAoITA2022 »

Olá! Recentemente me deparei com uma questão que me deixou com uma pulga atrás da orelha.
Eu tentei resolver a questão do meu jeito, e não encontrei o resultado correto. Olhei o gabarito, e fiz de outro jeito, tentando chegar na resposta. Consegui. O que me deixou com dúvida foi o fato de a primeira forma não ter dado certo. Eis a questão:

(UF-MS) Resolva, em reais, a equação: √(x²-2x+1) = x-1.


1) Forma correta de resolver:

Como x²-2x+1 = (x-1)², então √(x²-2x+1) = x-1 => √[(x-1)²] = x-1. Não sabemos se x-1 é maior ou igual a 0, então √[(x-1)²] = | x-1 |. Assim, teremos | x-1 | = x-1. Resolvendo essa equação modular:

Primeiro caso
Supondo x-1 >= 0, ou seja, x >= 1, a equação será escrita como x-1 = x-1. A solução para essa equação é qualquer valor real de x. Entretanto, supomos antes x >= 1, portanto a solução para esse primeiro caso é todo valor real de x, tal que x >=1.

Segundo caso
Supondo x-1 < 0, ou seja, x < 1, a equação será escrita como -x+1 = x-1. Resolvendo: -x+1 = x-1 => -x-x = -1-1 => -2x = -2 => x = 1. Todavia, supomos antes x < 1, logo não há soluções para o segundo caso.

Resposta correta: S = {x real | x >= 1}.



2) Forma incorreta pela qual tentei fazer antes, mas não entendi por quê não deu certo:

Eu tentei simplesmente eliminar essa raiz para chegar numa equação mais simples, então elevei os dois membros ao quadrado.

[√(x²-2x+1)]² = (x-1)²

Eu sabia que x²-2x+1 já era um quadrado (o quadrado de x-1, nesse caso), e qualquer quadrado de um número real será maior ou igual a zero. Portanto, eliminei da raiz direto. Fiquei com x²-2x+1 = (x-1)² => x²-2x+1 = x²-2x+1. Como os dois membros da equação são exatamente iguais, a solução será qualquer valor real.
Tentei resolver não eliminado a raiz rapidamente, considerando [√(x²-2x+1)]² = |x²-2x+1|, e cheguei na mesma resposta.

Resposta incorreta: S = conjunto dos reais.


Por favor, alguém poderia me explicar o porquê de minha resposta não ter dado certo?




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petras
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Mai 2021 02 12:22

Re: Dúvida sobre questão

Mensagem não lida por petras »

RumoAoITA2022,

[tex3]\sqrt{a}=b\rightarrow b \geq 0[/tex3]

Uma das condições da existência é que b >= 0 pois será o resultado de uma raiz quadrada portanto na questão a condição inicial é que x - 1 [tex3]\geq 0[/tex3] , ou seja qualquer análise da solução deverá levar em com essa C.E.




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