IME / ITA ⇒ (Escola naval - 2012) Funções Tópico resolvido

[JohnnyEN]

A figura que melhor representa o gráfico da função [tex3]x=|y|e^{\frac{1}{y}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=|y|e^{\frac{1}{y}}[/tex3]

é

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Resposta

---

GAB:A

[deOliveira]

Para todos [tex3]y\in \mathbb R -\{0\}[/tex3]

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[tex3]y\in \mathbb R -\{0\}[/tex3]

temos que [tex3]|y|>0[/tex3]

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[tex3]|y|>0[/tex3]

e [tex3]e^\frac{1}{y}>0[/tex3]

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[tex3]e^\frac{1}{y}>0[/tex3]

, logo [tex3]x=|y|e^\frac 1y>0[/tex3]

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[tex3]x=|y|e^\frac 1y>0[/tex3]

. Isso elimina as alternativas b), c), e).

Então observando as letras a) e d) nos resta olhar o que acontece com [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

quando [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

é negativo.
Dado [tex3]y\in]-1,0[[/tex3]

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[tex3]y\in]-1,0[[/tex3]

temos os seguinte:

[tex3]e^\frac1y=\frac1{e^\frac1{|y|}}[/tex3]

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[tex3]e^\frac1y=\frac1{e^\frac1{|y|}}[/tex3]

Como [tex3]|y|<1[/tex3]

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[tex3]|y|<1[/tex3]

, temos que [tex3]\frac1{|y|}>1[/tex3]

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[tex3]\frac1{|y|}>1[/tex3]

, o que implica que [tex3]e^\frac1{|y|}>e>1[/tex3]

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[tex3]e^\frac1{|y|}>e>1[/tex3]

.
E isso implica que [tex3]e^\frac1y=\frac1{e^\frac1{|y|}}<1[/tex3]

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[tex3]e^\frac1y=\frac1{e^\frac1{|y|}}<1[/tex3]

.
Logo [tex3]x=|y|e^\frac1y<|y|=-y\implies x [/tex3]

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[tex3]x=|y|e^\frac1y<|y|=-y\implies x [/tex3]

está abaixo da segunda bissetriz. O que elimina a alternativa d)

Portanto a resposta é a).

Resolvi procurando métodos de ir eliminando as alternativas, talvez (e provavelmente) existam formas mais elegantes de resolver esta questão.
Espero ter ajudado.

[JohnnyEN]

interessante esse método usado, nunca teria pensado nisso obrigado, tem algum jeito de resolver essa questão por derivada da segunda? e se sim como ficaria a constante de Euler elevada a incógnita y

[deOliveira]

Tem como resolver por derivada segunda sim. Eu evitei esse tipo de solução porque não sabia se cálculo 1 é exigido nessa prova.
Vamos lá:
Vamos considerar [tex3]f(y)=|y|e^\frac1y[/tex3]

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[tex3]f(y)=|y|e^\frac1y[/tex3]

, com [tex3]dom f=]-\infty,0[[/tex3]

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[tex3]dom f=]-\infty,0[[/tex3]

(vou considerar só esse domínio pois é fácil eliminar as letras b), c), e) e daí só interessará esse domínio, mas fazer para o maior domínio possível é bem parecido com o que vou fazer).
Então [tex3]f(y)=-ye^\frac1y[/tex3]

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[tex3]f(y)=-ye^\frac1y[/tex3]

Vamos derivar a primeira em relação a [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

. Usando a regra do produto e a regra da cadeia temos:
[tex3]f'(y)=(-y)'e^\frac1y+(-y)(e^\frac1y)'=\\
-e^\frac1y-y\(e^\frac1y\(\frac1y\)'\)=\\
-e^\frac1y-y\(e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\)=\\
-e^\frac1y+\frac1ye^\frac1y=\\
e^\frac1y\(\frac1{y}-1\)[/tex3]

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[tex3]f'(y)=(-y)'e^\frac1y+(-y)(e^\frac1y)'=\\
-e^\frac1y-y\(e^\frac1y\(\frac1y\)'\)=\\
-e^\frac1y-y\(e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\)=\\
-e^\frac1y+\frac1ye^\frac1y=\\
e^\frac1y\(\frac1{y}-1\)[/tex3]

Façamos agora a derivada segunda, mais uma vez usando a regra do produto e a regra da cadeia.

[tex3]f''(y)=(e^\frac1y)'\(\frac1{y}-1\)+e^\frac1y\(\frac1{y}-1\)'=\\
e^\frac1y\(\frac1y\)'\(\frac1{y}-1\)+e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)=\\
e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\(\frac1y-1\)+e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)=\\
e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\(\frac1y-1+1\)=\\
-e^\frac1y\frac1{y^3}[/tex3]

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[tex3]f''(y)=(e^\frac1y)'\(\frac1{y}-1\)+e^\frac1y\(\frac1{y}-1\)'=\\
e^\frac1y\(\frac1y\)'\(\frac1{y}-1\)+e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)=\\
e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\(\frac1y-1\)+e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)=\\
e^\frac1y\(-\frac1{y^2}\)\(\frac1y-1+1\)=\\
-e^\frac1y\frac1{y^3}[/tex3]

Então [tex3]f''(y)=-e^\frac1y\frac1{y^3}[/tex3]

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[tex3]f''(y)=-e^\frac1y\frac1{y^3}[/tex3]

Precisamos saber a respeito do sinal de [tex3]f''(y)[/tex3]

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[tex3]f''(y)[/tex3]

como para todo [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

temos [tex3]e^\frac1y>0[/tex3]

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[tex3]e^\frac1y>0[/tex3]

só nos interessa o sinal de
[tex3]-\frac1{y^3}[/tex3]

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[tex3]-\frac1{y^3}[/tex3]

.
[tex3]y<0\implies y^3<0\implies \frac1{y^3}<0\implies -\frac1{y^3}>0\\\therefore f''(y)>0,\ \forall y<0[/tex3]

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[tex3]y<0\implies y^3<0\implies \frac1{y^3}<0\implies -\frac1{y^3}>0\\\therefore f''(y)>0,\ \forall y<0[/tex3]

.

Com isso temos que a concavidade da função [tex3]f(y)[/tex3]

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[tex3]f(y)[/tex3]

é para cima.
Mas aí a gente tem o problema de que esse para baixo é em consideração ao sentido convencional dos eixos x e y, e nesse caso a coisa é estranha pois a função é x em função de y, então tem que pensar no desenho e refletir e virar ele, fazer uns esquemas... e chegar na resposta a)

Bem, essa solução me parece mais complicada principalmente pelo fato de ser x em função de y, mas dá pra fazer.
Espero que eu não tenha errado nada.

Espero ter ajudado.

[JohnnyEN]

excelente gostei muito mais dessa segunda resolução, muito obrigado pela ajuda

[deOliveira]

Disponha.
Particularmente, eu gosto mais da primeira pois ela tem como ingrediente principal a malandragem. E para passar em prova é preciso um pouco de malandragem.
Bons estudos!