IME / ITAEFOMM - 2017 - Combinatória Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Autor do Tópico
JohnnyEN
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EFOMM - 2017 - Combinatória

Mensagem não lida por JohnnyEN »

Em uma festa, sabe-se que cada pessoa tem três amigos, mas que não há três pessoas que sejam amigas duas a duas. Qual é, então, a menor quantidade possível de pessoas na festa?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 4
Resposta

GAB:D



"Existem três tipos de homens: os vivos, os mortos e os que vão para o mar." - Platão

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petras
7 - Einstein
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Abr 2021 21 14:02

Re: EFOMM - 2017 - Combinatória

Mensagem não lida por petras »

JohnnyEN,


Vamos considerar as pessoas como vértices de um polígono e a relação de amizade
como lados ou diagonais.
Cada pessoa tem três amigos, então vértice está ligado com três outros. Mas não há três
pessoas que sejam amigas duas a duas, então não pode haver formação de triângulos.
Como cada pessoa têm três amigos, o menor número de pessoas que devemos
considerar é 4. Sejam 4 pessoas A, B, C e D. Vamos supor que a pessoa A seja amiga
das pessoas B, C e D. Analisando a pessoa B, observamos que deve mais dois amigos
além de A. Entretanto se B for amigo de C, forma-se um triângulo ABC, o que não é
permitido. Portanto, não é possível atender às condições propostas com 4 pessoas.



Acrescentando uma quinta pessoa E, teremos o mesmo problema, pois a pessoa B será
amiga de A e E, mas terá que ser amida de C ou D, formando assim um triângulo com
A. Portanto, não é possível atender às condições propostas com 4 pessoas.
Vamos considerar agora a configuração com seis pessoas A, B, C, D, E, F, podemos
construir a seguinte configuração que atende todas as condições.

Portanto, a menor quantidade possível de pessoas na festa é 6. (Resolução Prof. Renato)
Anexos
rerer.jpg
rerer.jpg (17.65 KiB) Exibido 1579 vezes




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lbdmk
iniciante
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Mai 2021 13 17:40

Re: EFOMM - 2017 - Combinatória

Mensagem não lida por lbdmk »

Tive um raciocínio objetivo... se em um grupo de três pessoas não existe a amizade duas a duas, ou seja, quando ha tres pessoas, como João Pedro e Lucas, se tomarmos os amigos de Lucas, Pedro e João nao serão um desses amigos, pela condição que foi dada no enunciado, ou seja, os três amigos de Lucas estarão fora deste subconjunto tomado(Pedro Lucas e João) , então ha de ter, no mínimo, mais três pessoas fora os três ja tomados, que são os amigos de Lucas, assim serão seis ao todo.




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