IME / ITA(Ita)Equação

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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AngelitaB
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(Ita)Equação

Mensagem não lida por AngelitaB »

Seja p(x)= um polinômio de grau 3 tal que p(x)=p(x+2) - x² - 2, para todo x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] . Se -2 é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é:
a)36
b)18
c)-36
d)-18
e)1
Resposta

c




iammaribrg
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Re: (Ita)Equação

Mensagem não lida por iammaribrg »

Se o polinômio é de grau 3, ele é do tipo
P(x)= [tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3] + cx + d. Substituindo na relação dada:
P(-2)= P(0) - 6 [tex3]\rightarrow [/tex3] d=6. Perceba que o produto das raízes é [tex3]\frac{d}{a}[/tex3] , no caso [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] . Aí facilita bastante, pq eu só preciso ir atrás do a.
Substituindo p(-2)= 0
-8a + 4b - 2c=-6
A maneira mais conveniente é achar p(2) e montar um sistema. E pra isso, faremos:
P(0)= P(2) -2 [tex3]\rightarrow [/tex3] P(2)= 8. Fazendo um pequeno sistema:
[tex3]\begin{cases}
-8a + 4b -2c=-6 \\
8a + 4b + 2c=2
\end{cases}[/tex3] , temos b= - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] . Agora eu preciso de mais dois valores pra obter um outro sistema, pq aí eu posso estabelecer uma relação entre a e c, e aí a questão acaba. Como eu só conheço p(2) e p(-2), posso descobrir p(4) e p(-4) e relacionar. Se eu aplicar na relação dada na questão p(4)= 14 e p(-4)= -18. Aplicando em um novo sistema:
[tex3]\begin{cases}
64a + 16b + 4c + 6=14 \\
-64a + 16b -2c + 6=-18
\end{cases}[/tex3] , temos que c= 4 -16a.
Aplicando em p(-2):
-8a + 4b - 2c=-6, temos que a= -[tex3]\frac{1}{6}[/tex3] . Voltando lá no produto, [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] = -36

Espero ter ajudado!



O fogo arderá continuamente sobre o altar; não se apagará.
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EinsteinGenio
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Mai 2021 04 23:32

Re: (Ita)Equação

Mensagem não lida por EinsteinGenio »

iammaribrg escreveu:
Ter 04 Mai, 2021 23:13
Se o polinômio é de grau 3, ele é do tipo
P(x)= [tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3] + cx + d. Substituindo na relação dada:
P(-2)= P(0) - 6 [tex3]\rightarrow [/tex3] d=6. Perceba que o produto das raízes é [tex3]\frac{d}{a}[/tex3] , no caso [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] . Aí facilita bastante, pq eu só preciso ir atrás do a.
Substituindo p(-2)= 0
-8a + 4b - 2c=-6
A maneira mais conveniente é achar p(2) e montar um sistema. E pra isso, faremos:
P(0)= P(2) -2 [tex3]\rightarrow [/tex3] P(2)= 8. Fazendo um pequeno sistema:
[tex3]\begin{cases}
-8a + 4b -2c=-6 \\
8a + 4b + 2c=2
\end{cases}[/tex3] , temos b= - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] . Agora eu preciso de mais dois valores pra obter um outro sistema, pq aí eu posso estabelecer uma relação entre a e c, e aí a questão acaba. Como eu só conheço p(2) e p(-2), posso descobrir p(4) e p(-4) e relacionar. Se eu aplicar na relação dada na questão p(4)= 14 e p(-4)= -18. Aplicando em um novo sistema:
[tex3]\begin{cases}
64a + 16b + 4c + 6=14 \\
-64a + 16b -2c + 6=-18
\end{cases}[/tex3] , temos que c= 4 -16a.
Aplicando em p(-2):
-8a + 4b - 2c=-6, temos que a= -[tex3]\frac{1}{6}[/tex3] . Voltando lá no produto, [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] = -36

Espero ter ajudado!
Não entendo nada de matemática,até hoje com 34 anos por causa da minha dificuldade de aprendizado estou tentando aprender a tabuada,não sei como vocês tiram tantos valores,eu não consigo ver/entender esses valores,por exemplo onde tu tirou esse "a" de [tex3]\frac{d}{a}[/tex3]


A solidão faz mentes brilhantes,pelo simples fato de que a solidão te faz pensar.
O Gênio pensa fora do senso comum,porque o senso comum é o pensamento do povo.
Quando a ciência entra em um beco sem saída,surge o Gênio para solucionar o problema.

iammaribrg
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Re: (Ita)Equação

Mensagem não lida por iammaribrg »

    EinsteinGenio escreveu:
    Ter 04 Mai, 2021 23:32
    iammaribrg escreveu:
    Ter 04 Mai, 2021 23:13
    Se o polinômio é de grau 3, ele é do tipo
    P(x)= [tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3] + cx + d. Substituindo na relação dada:
    P(-2)= P(0) - 6 [tex3]\rightarrow [/tex3] d=6. Perceba que o produto das raízes é [tex3]\frac{d}{a}[/tex3] , no caso [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] . Aí facilita bastante, pq eu só preciso ir atrás do a.
    Substituindo p(-2)= 0
    -8a + 4b - 2c=-6
    A maneira mais conveniente é achar p(2) e montar um sistema. E pra isso, faremos:
    P(0)= P(2) -2 [tex3]\rightarrow [/tex3] P(2)= 8. Fazendo um pequeno sistema:
    [tex3]\begin{cases}
    -8a + 4b -2c=-6 \\
    8a + 4b + 2c=2
    \end{cases}[/tex3] , temos b= - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] . Agora eu preciso de mais dois valores pra obter um outro sistema, pq aí eu posso estabelecer uma relação entre a e c, e aí a questão acaba. Como eu só conheço p(2) e p(-2), posso descobrir p(4) e p(-4) e relacionar. Se eu aplicar na relação dada na questão p(4)= 14 e p(-4)= -18. Aplicando em um novo sistema:
    [tex3]\begin{cases}
    64a + 16b + 4c + 6=14 \\
    -64a + 16b -2c + 6=-18
    \end{cases}[/tex3] , temos que c= 4 -16a.
    Aplicando em p(-2):
    -8a + 4b - 2c=-6, temos que a= -[tex3]\frac{1}{6}[/tex3] . Voltando lá no produto, [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] = -36

    Espero ter ajudado!
    Não entendo nada de matemática,até hoje com 34 anos por causa da minha dificuldade de aprendizado estou tentando aprender a tabuada,não sei como vocês tiram tantos valores,eu não consigo ver/entender esses valores,por exemplo onde tu tirou esse "a" de [tex3]\frac{d}{a}[/tex3]
    EinsteinGenio se eu tenho um polinômio de grau 3, ele é do tipo ax³ + bx² + cx + d. Quando vc estuda polinômios, existem as relações de Girard, que facilitam vc descobrir as raízes desse polinômio através de operações como soma, produto, combinação linear, etc. No caso, como a questão quer o produto, pra todo e qualquer polinômio de grau n, o produto de suas raízes vai ser [tex3]\frac{a_{0}}{a_{n}}[/tex3] , onde [tex3]a_{0}[/tex3] é o termo independente, ou seja, sem a variável x e o de baixo é o que tem a variável com o maior grau, isso tudo de acordo com as relações de Girard que eu citei acima. Não é tão complicado, basta exercitar muito que vc pega prática!


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    Mai 2021 04 23:59

    Re: (Ita)Equação

    Mensagem não lida por EinsteinGenio »

    iammaribrg escreveu:
    Ter 04 Mai, 2021 23:48
      EinsteinGenio escreveu:
      Ter 04 Mai, 2021 23:32
      iammaribrg escreveu:
      Ter 04 Mai, 2021 23:13
      Se o polinômio é de grau 3, ele é do tipo
      P(x)= [tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3] + cx + d. Substituindo na relação dada:
      P(-2)= P(0) - 6 [tex3]\rightarrow [/tex3] d=6. Perceba que o produto das raízes é [tex3]\frac{d}{a}[/tex3] , no caso [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] . Aí facilita bastante, pq eu só preciso ir atrás do a.
      Substituindo p(-2)= 0
      -8a + 4b - 2c=-6
      A maneira mais conveniente é achar p(2) e montar um sistema. E pra isso, faremos:
      P(0)= P(2) -2 [tex3]\rightarrow [/tex3] P(2)= 8. Fazendo um pequeno sistema:
      [tex3]\begin{cases}
      -8a + 4b -2c=-6 \\
      8a + 4b + 2c=2
      \end{cases}[/tex3] , temos b= - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] . Agora eu preciso de mais dois valores pra obter um outro sistema, pq aí eu posso estabelecer uma relação entre a e c, e aí a questão acaba. Como eu só conheço p(2) e p(-2), posso descobrir p(4) e p(-4) e relacionar. Se eu aplicar na relação dada na questão p(4)= 14 e p(-4)= -18. Aplicando em um novo sistema:
      [tex3]\begin{cases}
      64a + 16b + 4c + 6=14 \\
      -64a + 16b -2c + 6=-18
      \end{cases}[/tex3] , temos que c= 4 -16a.
      Aplicando em p(-2):
      -8a + 4b - 2c=-6, temos que a= -[tex3]\frac{1}{6}[/tex3] . Voltando lá no produto, [tex3]\frac{6}{a}[/tex3] = -36

      Espero ter ajudado!
      Não entendo nada de matemática,até hoje com 34 anos por causa da minha dificuldade de aprendizado estou tentando aprender a tabuada,não sei como vocês tiram tantos valores,eu não consigo ver/entender esses valores,por exemplo onde tu tirou esse "a" de [tex3]\frac{d}{a}[/tex3]
      EinsteinGenio se eu tenho um polinômio de grau 3, ele é do tipo ax³ + bx² + cx + d. Quando vc estuda polinômios, existem as relações de Girard, que facilitam vc descobrir as raízes desse polinômio através de operações como soma, produto, combinação linear, etc. No caso, como a questão quer o produto, pra todo e qualquer polinômio de grau n, o produto de suas raízes vai ser [tex3]\frac{a_{0}}{a_{n}}[/tex3] , onde [tex3]a_{0}[/tex3] é o termo independente, ou seja, sem a variável x e o de baixo é o que tem a variável com o maior grau, isso tudo de acordo com as relações de Girard que eu citei acima. Não é tão complicado, basta exercitar muito que vc pega prática!
      Tenho dificuldade de aprendizado,ainda pelo fato de que deveria ter aprendido a tabuada na terceira serie com mais ou menos 9 anos,entretanto não aprendi,como eu passava de ano sem estudar e sem colar,os Professores de matemática e física me passavam empurrando de serie por bom comportamento,também não entendo a matemática ou a ciência direito porque parece um idioma grego,parece que estão falando grego,talvez porque a ciência surgiu na Grécia,não sei dizer ao certo.



      A solidão faz mentes brilhantes,pelo simples fato de que a solidão te faz pensar.
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