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Mensagem não lidapor **JohnnyEN** » 11 Abr 2021, 15:31 · Mensagem não lida por **JohnnyEN** » 11 Abr 2021, 15:31

Seja [tex3]𝑛⃗ = (−2, 4, 5)[/tex3] o vetor normal ao plano [tex3]𝛼[/tex3] que contém o ponto
[tex3]𝐴(5/2, 0, −2)[/tex3] , e [tex3]𝐵(−3, 1, 4)[/tex3] um ponto fora do plano. Determine produto das coordenadas do ponto simétrico de [tex3]𝐵[/tex3] em relação
ao plano [tex3]𝛼[/tex3] .

A) 42
B) -35
C) 30
D) 35
E) -15

Resposta

GAB: A

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 11 Abr 2021, 17:42 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 11 Abr 2021, 17:42

Seja [tex3]\mathsf{B' \ =\ (x',y',z')}[/tex3] a projeção ortogonal do ponto [tex3]\mathsf{B}[/tex3] em relação ao plano [tex3]\alpha[/tex3] . Por ser projeção de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] , então [tex3]\mathsf{\vec{BB'} \ \perp \ \alpha}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{\vec{BB'} \ \parallel\ \vec{n}}.[/tex3] Seja então [tex3]\mathsf{\lambda \ \in \ \mathbb{R}}[/tex3] tal que [tex3]\mathsf{\vec{BB'} \ = \lambda \cdot \vec{n}:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\underbrace{\big(B' \ - \ B \big)}_{\vec{BB'}} \ = \ \lambda \cdot \vec{n}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(x' \ - \ (-3), y' \ - \ 1, z' \ - \ 4) \ = \ \lambda \cdot (-2,4.5)}[/tex3]

Dessa igualdade, tiramos que: [tex3]\mathsf{x' \ = \ -3 \cdot 2\cdot \lambda, \ \ y' \ = \ 1 \ + \ 4 \cdot \lambda, \ \ z' \ = \ 4 \ + \ 5 \cdot \lambda.}[/tex3]

Estando [tex3]\mathsf{B'}[/tex3] contido em [tex3]\mathsf{\alpha, \ \vec{AB'} \ \in \ \alpha}[/tex3] e portanto [tex3]\mathsf{\vec{AB'} \ \perp \ \vec{n} \ \therefore \ \vec{AB'} \ \cdot\ \vec{n} \ =\ 0:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bigg(x' \ - \ \frac{5}{2}, \ y' \ - \ 0, \ z' \ - \ (-2)\bigg) \ \cdot \ (-2,4,5) \ = \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{-2 \cdot x' \ + 4 \cdot y' \ + 5\cdot z' \ + \ 15 \ = \ 0}[/tex3]

Substitua [tex3]\mathsf{(x',y',z')}[/tex3] na equação acima e ache [tex3]\boxed{\mathsf{\lambda \ = \ -1}}[/tex3]

Por fim, sendo [tex3]\mathsf{B_s \ = \ (x_s,y_s,z_s)}[/tex3] o simétrico de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] em relação a [tex3]\alpha[/tex3] , também tem a sua projeção no plano como sendo o ponto [tex3]\mathsf{B'}[/tex3] . Se leva [tex3]\mathsf{\lambda \cdot \vec{n}}[/tex3] para ir de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] a [tex3]\mathsf{B'}[/tex3] , então também leva-se [tex3]\mathsf{\lambda \cdot \vec{n}}[/tex3] para ir de [tex3]\mathsf{B'}[/tex3] a [tex3]\mathsf{B_s}[/tex3] , resultando em [tex3]\mathsf{2 \cdot \lambda \cdot \vec{n}}[/tex3] para ir de [tex3]\mathsf{B}[/tex3] a [tex3]\mathsf{B_s}[/tex3] .

[tex3]\mathsf{B_s \ = \ B \ + \ 2\cdot\lambda\cdot\vec{n}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(x_,y_s,z_s) \ = \ (-3,1,4) \ -2 \cdot(-2,4,5)}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{x_s \ = \ 1, \ y_s \ =\ -7, \ z_s \ = \ -6}}[/tex3] , e, portanto, [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{x_s\cdot y_s \cdot z_s \ = \ 42}}}[/tex3]

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