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Resposta
A
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
IME / ITA ⇒ EN 2008 Reta Tangente à Tangente Tópico resolvido
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mandycorrea
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Abr 2021
09
13:00
EN 2008 Reta Tangente à Tangente
Sejam [tex3]L_1[/tex3]
a reta tangente ao gráfico da função real f(x)=[tex3]e^\sqrt{x^2-3x}[/tex3]
no ponto P(-1, f(-1)) e [tex3]L_2[/tex3]
a reta tangente ao gráfico da função y=f'(x) no ponto Q(-1, f'(-1)). A abcissa do ponto de interseção [tex3]L_1[/tex3]
e [tex3]L_2[/tex3]
é:
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joaopcarv
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Abr 2021
09
15:58
Re: EN 2008 Reta Tangente à Tangente
Seja [tex3]\mathsf{\alpha_{(x)}}[/tex3]
a inclinação da reta tangente a um ponto de [tex3]\mathsf{f(x) \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}}.}[/tex3]
Temos que:
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ \dfrac{df(x)}{dx}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ \dfrac{d(e^u)}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \ \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot \ (2\cdot x \ - \ 3)}[/tex3]
Em particular, no ponto [tex3]\mathsf{P \ = \ (-1, f(-1)):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(-1)} \ = \ e^{\sqrt{(-1)^2 \ - \ 3\cdot (-1)}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{(-1)^2 \ - \ 3\cdot (-1)}\big)} \cdot (2\cdot (-1) \ - \ 3)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(-1)} \ = \ \dfrac{-5\cdot e^2}{4}}[/tex3]
Logo, usando a inclinação e o ponto dado, temos [tex3]\mathsf{L_1:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{-5 \cdot e^2}{4} \ = \ \dfrac{\ \ y \ - \ \overbrace{e^2}^{f(-1)}}{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{L_1: \ y \ = \ \dfrac{-5\cdot e^2 \cdot x \ - e^2}{4}}}[/tex3]
Faremos o mesmo método para [tex3]\mathsf{g(x) \ = \ \dfrac{df(x)}{dx} \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot (2\cdot x \ - \ 3).}[/tex3] Usando a derivação do produto expandida (Para essa derivação, derive cada função do produto e multiplique pelas outras e some cada parcela):
[tex3]\mathsf{\dfrac{dg(x)}{dx} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2\cdot \big(x^2 \ - \ 3\cdot x\big)} \ - \ \dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2 \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - 3\cdot x}\big)^3} \ + \ \dfrac{2 \cdot e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}}}{\big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)}\Bigg)}[/tex3]
Seja então [tex3]\mathsf{\beta{(x)}}[/tex3] a inclinação da reta tangente a um ponto de [tex3]\mathsf{g(x).}[/tex3] Para [tex3]\mathsf{Q \ = \ (-1, g(-1)):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2\cdot \big(x^2 \ - \ 3\cdot x\big)} \ - \ \dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2 \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - 3\cdot x}\big)^3} \ + \ \dfrac{2 \cdot e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}}}{\big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)}\Bigg) \Bigg|_{x \ = \ -1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{e^2 \cdot \Big(\frac{25}{8} \ - \ \frac{25}{16} \ + \ 1\Big)}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{41 \cdot e^2}{32}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{g(-1) \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot (2\cdot x \ - \ 3) \ \Big|_{x \ = \ -1} \ = \ \dfrac{-5 \cdot e^2}{4}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{L_2:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{41 \cdot e^2}{32} \ = \ \dfrac{\ \ y \ + \ \frac{5 \cdot e^2}{4}}{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{L_2: \ y \ = \ \dfrac{41\cdot e^2 \cdot x \ + e^2}{32}}}[/tex3]
Intersecção: [tex3]\mathsf{y_{L_1} \ = \ y_{L_2}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{-5\cdot e^2 \cdot x \ -e^2}{4} \ = \ \dfrac{41\cdot e^2 \cdot x \ + e^2}{32}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{-9 \cdot \cancel{e^2} \ = \ 81 \cdot \cancel{e^2} \cdot x}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{x \ = \ -\dfrac{1}{9}}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ \dfrac{df(x)}{dx}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ \dfrac{d(e^u)}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(x)} \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \ \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot \ (2\cdot x \ - \ 3)}[/tex3]
Em particular, no ponto [tex3]\mathsf{P \ = \ (-1, f(-1)):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(-1)} \ = \ e^{\sqrt{(-1)^2 \ - \ 3\cdot (-1)}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{(-1)^2 \ - \ 3\cdot (-1)}\big)} \cdot (2\cdot (-1) \ - \ 3)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\alpha_{(-1)} \ = \ \dfrac{-5\cdot e^2}{4}}[/tex3]
Logo, usando a inclinação e o ponto dado, temos [tex3]\mathsf{L_1:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{-5 \cdot e^2}{4} \ = \ \dfrac{\ \ y \ - \ \overbrace{e^2}^{f(-1)}}{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{L_1: \ y \ = \ \dfrac{-5\cdot e^2 \cdot x \ - e^2}{4}}}[/tex3]
Faremos o mesmo método para [tex3]\mathsf{g(x) \ = \ \dfrac{df(x)}{dx} \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot (2\cdot x \ - \ 3).}[/tex3] Usando a derivação do produto expandida (Para essa derivação, derive cada função do produto e multiplique pelas outras e some cada parcela):
[tex3]\mathsf{\dfrac{dg(x)}{dx} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2\cdot \big(x^2 \ - \ 3\cdot x\big)} \ - \ \dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2 \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - 3\cdot x}\big)^3} \ + \ \dfrac{2 \cdot e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}}}{\big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)}\Bigg)}[/tex3]
Seja então [tex3]\mathsf{\beta{(x)}}[/tex3] a inclinação da reta tangente a um ponto de [tex3]\mathsf{g(x).}[/tex3] Para [tex3]\mathsf{Q \ = \ (-1, g(-1)):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2\cdot \big(x^2 \ - \ 3\cdot x\big)} \ - \ \dfrac{e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \ \cdot (2\cdot x \ - \ 3)^2}{2 \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - 3\cdot x}\big)^3} \ + \ \dfrac{2 \cdot e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}}}{\big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)}\Bigg) \Bigg|_{x \ = \ -1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{e^2 \cdot \Big(\frac{25}{8} \ - \ \frac{25}{16} \ + \ 1\Big)}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\beta_{(-1)} \ = \ \dfrac{41 \cdot e^2}{32}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{g(-1) \ = \ e^{\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}} \cdot \dfrac{1}{2\ \cdot \big(\sqrt{x^2 \ - \ 3\cdot x}\big)} \cdot (2\cdot x \ - \ 3) \ \Big|_{x \ = \ -1} \ = \ \dfrac{-5 \cdot e^2}{4}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{L_2:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{41 \cdot e^2}{32} \ = \ \dfrac{\ \ y \ + \ \frac{5 \cdot e^2}{4}}{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{L_2: \ y \ = \ \dfrac{41\cdot e^2 \cdot x \ + e^2}{32}}}[/tex3]
Intersecção: [tex3]\mathsf{y_{L_1} \ = \ y_{L_2}:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{-5\cdot e^2 \cdot x \ -e^2}{4} \ = \ \dfrac{41\cdot e^2 \cdot x \ + e^2}{32}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{-9 \cdot \cancel{e^2} \ = \ 81 \cdot \cancel{e^2} \cdot x}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{x \ = \ -\dfrac{1}{9}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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