IME / ITA ⇒ (EFOMM - 2016) Plano R3 Tópico resolvido

[JohnnyEN]

Seja A o ponto de intersecção entre as retas [tex3]r_{1}:\begin{cases}
x=z+3 \\
y=-2z-1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{1}:\begin{cases}
x=z+3 \\
y=-2z-1
\end{cases}[/tex3]

e [tex3]r_{2}: \begin{cases}
x=1-5t \\
2y=-3+2t \\
z=5+9t
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{2}: \begin{cases}
x=1-5t \\
2y=-3+2t \\
z=5+9t
\end{cases}[/tex3]

seja B ponto de intersecção entre as retas [tex3]r_{3}: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-3}=z+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{3}: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-3}=z+1[/tex3]

e [tex3]r_{4}:\begin{cases}
2x=15+5t \\
2y=8+3t \\
2z=2+t
\end{cases} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{4}:\begin{cases}
2x=15+5t \\
2y=8+3t \\
2z=2+t
\end{cases} [/tex3]

Defina a equação do plano mediador entre os pontos A e B.

Resposta

---

-28x+12y-8z+64=0

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Determinação do ponto A:

Da reta [tex3]r_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{1}[/tex3]

pegamos x = z + 3 e substitua em x = 1 - 5t da reta [tex3]r_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{2}[/tex3]

, obtemos

z + 2 = - 5t

Agora tome z = 5 + 9t e substitua em z + 2 = - 5t, resulta em t = - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

.

Basta substituir o valor de t = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

na reta [tex3]r_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{2}[/tex3]

, você irá obter

[tex3]A = \left(\frac{7}{2} ; -2 ; \frac{1}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \left(\frac{7}{2} ; -2 ; \frac{1}{2}\right)[/tex3]

que é o ponto de interseção entre as retas [tex3]r_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{1}[/tex3]

e [tex3]r_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{2}[/tex3]

.


Determinação do ponto B:

A equação [tex3]r_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{2}[/tex3]

pode ser reescrita como

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

Tome x = 4z + 2 e substitua em 2x = 15 + 5t de [tex3]r_{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{4}[/tex3]

, obtemos

8z = 11 + 5t

Tome 2z = 2 + t de [tex3]r_{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{4}[/tex3]

, ou seja , t = 2z - 2 e substitua em 8z = 11 + 5t , obtemos

z = - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo z = - [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

em [tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

obtemos [tex3]B = \left( 0 ; - \frac{1}{2} ; -\frac{1}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = \left( 0 ; - \frac{1}{2} ; -\frac{1}{2}\right)[/tex3]

que é o ponto de interseção entre as retas [tex3]r_{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{3}[/tex3]

e [tex3]r_{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{4}[/tex3]

.



Obs. O plano mediador passa pelo ponto médio do segmento de reta AB fazendo 90° com o mesmo.



Seja M o ponto médio do segmento de reta AB pertencente obviamente a ambos , temos que

M = [tex3]\left(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} ; \frac{y_{A} + y_{B}}{2} ;
\frac{z_{A} + z_{B}}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} ; \frac{y_{A} + y_{B}}{2} ;
\frac{z_{A} + z_{B}}{2}\right)[/tex3]

Então,

[tex3]M = \left( \frac{7}{4} ; - \frac{5}{4} ; 0\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = \left( \frac{7}{4} ; - \frac{5}{4} ; 0\right)[/tex3]

Seja um ponto qualquer P = ( x , y , z ) pertencente ao plano mediador, então um vetor diretor desse plano mediador é

[tex3]\vec{MP} = P - M = \left(\frac{4x-7}{4} ; \frac{4y + 5 }{4} ; z \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{MP} = P - M = \left(\frac{4x-7}{4} ; \frac{4y + 5 }{4} ; z \right)[/tex3]

Por outro lado, um vetor diretor do segmento de reta AB é:

[tex3]\vec{AB} = B - A = \left( - \frac{7}{2} ; \frac{3}{2} ; - 1\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB} = B - A = \left( - \frac{7}{2} ; \frac{3}{2} ; - 1\right)[/tex3]

Como o plano mediador é perpendicular ao segmento de reta AB , ou melhor , o vetor diretor [tex3]\vec{MP}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{MP}[/tex3]

é perpendicular ao vetor diretor [tex3]\vec{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

, então o produto escalar entre os dois vetores é igual a zero ( 0 ) , ou seja

[tex3]\vec{MP}.\vec{AB} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{MP}.\vec{AB} = 0[/tex3]

[tex3]\left(\frac{4x-7}{4} ; \frac{4y + 5 }{4} ; z \right).
\left( - \frac{7}{2} ; \frac{3}{2} ; - 1\right) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{4x-7}{4} ; \frac{4y + 5 }{4} ; z \right).
\left( - \frac{7}{2} ; \frac{3}{2} ; - 1\right) = 0[/tex3]

Desenvolvendo , obtemos

- 28x + 12y - 8z + 64 = 0

que é a equação do plano mediador procurado.





Excelente estudo!

[Cardoso1979]

Correção:

A equação simétricas da reta [tex3]r_{3}[/tex3] pode ser reescrita como a seguinte equação reduzida

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_{3}:\begin{cases}
x=4z+2 \\
y=-3z-2
\end{cases}[/tex3]

Estou quase cego, tanto que eu revisei essa solução e somente agora que eu vi esse pequeno equívoco. Mais não irá prejudicar no desenvolvimento da resposta final.


Uma outra maneira:

Como o segmento de reta AB é perpendicular ao plano mediador , ou seja , ele fura o plano , então o vetor diretor do segmento de reta AB é o próprio vetor normal ( [tex3]\vec{n}[/tex3] ) ao plano mediador, daí

[tex3]\vec{n} = \vec{AB} = \left( - \frac{7}{2} , \frac{3}{2} , - 1\right)[/tex3].

Assim, a equação do plano mediador tem a seguinte característica

[tex3]- \frac{7}{2}x + \frac{3}{2}y - z + d = 0[/tex3]

- 7x + 3y - 2z + d = 0

Como o ponto [tex3]M = \left( \frac{7}{4} ; - \frac{5}{4} ; 0\right)[/tex3] pertence ao plano mediador, temos

[tex3]-7.\frac{7}{4} + 3.\left(- \frac{5}{4}\right) -2.0+d = 0[/tex3]

- 49 - 15 = - 4d

d = 16

Logo

- 7x + 3y - 2z + 16 = 0 → × ( 4 )

- 28x + 12y - 8z + 64 = 0


Visão péssima!