IME / ITA(AFA) Matrizes Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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ASPIRADEDEU
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Abr 2021 05 07:37

(AFA) Matrizes

Mensagem não lida por ASPIRADEDEU »

Considere as seguintes simbologias em relação à matriz [tex3]\mathsf{M}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{\bullet \ M^t}[/tex3] é a matriz transposta de [tex3]\mathsf{M;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ M^{-1}}[/tex3] é a matriz inversa de [tex3]\mathsf{M;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ det\ M}[/tex3] é o determinante da matriz [tex3]\mathsf{M.}[/tex3]



Da equação [tex3]\mathsf{\Big(X^t\Big)^{-1} \ = \ A \cdot (B \ + \ C)}[/tex3] , em que [tex3]\mathsf{A}[/tex3] e [tex3]\mathsf{(B \ + \ C)}[/tex3] são matrizes quadradas de ordem [tex3]\mathsf{n}[/tex3] e inversíveis, afirma-se que

[tex3]\mathsf{I. \ X \ = \ \Big(A^{-1}\Big)^t \cdot \Bigg[\Big(B \ + \ C\Big)^{-1}\Bigg]^t;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{II. \ det \ X \ = \ \dfrac{1}{det \ A \cdot det \ (B \ + \ C)};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{III. \ X^{-1} \ = \ \Big(B ^t \ + \ C ^t\Big) \cdot A^t}[/tex3]

São corretas:

[tex3]\mathsf{a)}[/tex3] Apenas [tex3]\mathsf{I}[/tex3] e [tex3]\mathsf{II;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b)}[/tex3] Apenas [tex3]\mathsf{II}[/tex3] e [tex3]\mathsf{III;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c)}[/tex3] Apenas [tex3]\mathsf{I}[/tex3] e [tex3]\mathsf{III;}[/tex3]

[tex3]\mathsf{d) \ I, II}[/tex3] e [tex3]\mathsf{III.}[/tex3]

Resposta

Gabarito: letra [tex3]\mathsf{d).}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Seg 05 Abr, 2021 19:23). Total de 2 vezes.
Razão: correção do latex


“Não passamos de minhocas. Mas acredito ser uma minhoca que brilha.”
Sir Winston Churchill

iammaribrg
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Re: (AFA) Matrizes

Mensagem não lida por iammaribrg »

I) Aplicando inversa e transposta em seguida dos dois lados:
[tex3]X^{} = (A^{-})^{t}[/tex3] × [tex3]((B + C)^{-})^{t}[/tex3] .
II) Sabendo da propriedade que [tex3]\det(X^{-})[/tex3] = [tex3]\frac{1}{\det(X)}[/tex3] . Aplicando det dos dois lados:
[tex3]\det(X^{})[/tex3] = [tex3]\frac{1}{\det(A) × \det(B + C)}[/tex3] .
III) Aplicando transposta dos dois lados e sabendo que pela propriedade da transposta:
[tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3] = [tex3](A+B)^{t}[/tex3] :
[tex3]X^{-}[/tex3] = [tex3]A^{t}[/tex3] × ( [tex3]B^{t} + C^{t}[/tex3] ).

Última edição: iammaribrg (Seg 05 Abr, 2021 14:29). Total de 1 vez.


O fogo arderá continuamente sobre o altar; não se apagará.
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ASPIRADEDEU
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Re: (AFA) Matrizes

Mensagem não lida por ASPIRADEDEU »

iammaribrg escreveu:
Seg 05 Abr, 2021 14:28
I) Aplicando inversa e transposta em seguida dos dois lados:
[tex3]X^{} = (A^{-})^{t}[/tex3] × [tex3]((B + C)^{-})^{t}[/tex3] .
II) Sabendo da propriedade que [tex3]\det(X^{-})[/tex3] = [tex3]\frac{1}{\det(X)}[/tex3] . Aplicando det dos dois lados:
[tex3]\det(X^{})[/tex3] = [tex3]\frac{1}{\det(A) × \det(B + C)}[/tex3] .
III) Aplicando transposta dos dois lados e sabendo que pela propriedade da transposta:
[tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3] = [tex3](A+B)^{t}[/tex3] :
[tex3]X^{-}[/tex3] = [tex3]A^{t}[/tex3] × ( [tex3]B^{t} + C^{t}[/tex3] ).
PERFECT !!!!! Sucinto e Esclarecedor :) A questão era fácil, mas tinha que ter uma percepção e interpretação incrível !!!



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Sir Winston Churchill

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