a)ao > 4
b)ao < 0
c)ao=0
d)ao > 0
e)n.r.a
Resposta
e
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
IME / ITA ⇒ (Ita-70)Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
04
08:47
(Ita-70)Equação
Considere o polinômio p(x)=ao [tex3]x^{4}[/tex3]
+ a1 [tex3]x^{3}[/tex3]
+ a2 [tex3]x^{2}[/tex3]
+ a3x + a4, de grau 4, tais que p(2)=p(3)=p(4)=p(r)=0, onde r [tex3]\notin [/tex3]
{2;3;4}.Temos, então, necessariamente que:
a)ao > 4
b)ao < 0
c)ao=0
d)ao > 0
e)n.r.a
e
a)ao > 4
b)ao < 0
c)ao=0
d)ao > 0
e)n.r.a
e
-
joaopcarv
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Abr 2021
06
00:31
Re: (Ita-70)Equação
Este exercício é a aplicação direta das relações de Girard. Tendo um polinômio [tex3]\mathsf{p(x)}[/tex3]
de ordem [tex3]\mathsf{4}[/tex3]
, temos as raízes [tex3]\mathsf{2,3,4,r}[/tex3]
e as relações:
[tex3]\mathsf{\bullet \ p(x) \ = \ a_0 \cdot x^4 \ + \ a_1 \cdot x^3 \ +\ a_2 \cdot x^2 \ + \ a_3 \cdot x \ + \ a_4 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{1}[/tex3] a [tex3]\mathsf{1}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_1}{a_0} \ = \ - (2 \ + \ 3 \ + \ 4 \ + \ r) \ \therefore \ a_1 \ = \ -(9 \ + \ r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{2}[/tex3] a [tex3]\mathsf{2}[/tex3] por produtos:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_2}{a_0} \ = \ (2\cdot 3 \ + \ 2\cdot 4 \ + \ 2\cdot r \ + \ 3\cdot4 \ + \ 3\cdot r \ + \ 4 \cdot r) \ \therefore \ a_2 \ = \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{3}[/tex3] a [tex3]\mathsf{3}[/tex3] por produtos:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_3}{a_0} \ = \ -(2\cdot 3\cdot 4 \ + \ 2\cdot 3 \cdot r \ + \ 2\cdot 4 \cdot r \ + \ 3\cdot4 \cdot r) \ \therefore \ a_3 \ = \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Produto das raízes:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_4}{a_0} \ =\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot r \ \therefore \ a_4 \ = \ 24 \cdot r \cdot a_0}[/tex3]
Perceba, portanto, que, ao substituirmos os coeficientes em [tex3]\mathsf{p(x):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot x^4 \ + \ \cancelto{-(9 \ + \ r) \cdot a_0}{a_1} \cdot x^3 \ +\ \cancelto{(26 \ + \ 9\cdot r) \cdot a_0}{a_2} \cdot x^2 \ + \ \cancelto{-(24\ + \ 26\cdot r) \cdot a_0}{a_3} \cdot x \ + \ \cancelto{24 \cdot r \cdot a_0}{a_4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot \ \underbrace{\Big(x^4 \ -(9 \ + \ r) \cdot x^3 \ + \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot x^2 \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot x \ + \ 24 \cdot r\Big)}_{q(x)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot q(x).}[/tex3]
Tomando então [tex3]\mathsf{q(x) \ = \ x^4 \ -(9 \ + \ r) \cdot x^3 \ + \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot x^2 \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot x \ + \ 24 \cdot r}[/tex3] , ao aplicarmos as relações de Girard em seus coeficientes, teremos as mesmas raízes de [tex3]\mathsf{p(x)}[/tex3] divididas por [tex3]\mathsf{a_0}[/tex3] , e concluímos que [tex3]\mathsf{a_0}[/tex3] é uma constante multiplicativa qualquer diferente de [tex3]\mathsf{0}[/tex3] , não sendo necessariamente nenhuma das afirmações [tex3]\mathsf{(a_0 \lt 0, a_0 \gt 0, a_0 \gt 4).}[/tex3]
Alternativa [tex3]\mathsf{e).}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ p(x) \ = \ a_0 \cdot x^4 \ + \ a_1 \cdot x^3 \ +\ a_2 \cdot x^2 \ + \ a_3 \cdot x \ + \ a_4 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{1}[/tex3] a [tex3]\mathsf{1}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_1}{a_0} \ = \ - (2 \ + \ 3 \ + \ 4 \ + \ r) \ \therefore \ a_1 \ = \ -(9 \ + \ r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{2}[/tex3] a [tex3]\mathsf{2}[/tex3] por produtos:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_2}{a_0} \ = \ (2\cdot 3 \ + \ 2\cdot 4 \ + \ 2\cdot r \ + \ 3\cdot4 \ + \ 3\cdot r \ + \ 4 \cdot r) \ \therefore \ a_2 \ = \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Soma das raízes tomadas [tex3]\mathsf{3}[/tex3] a [tex3]\mathsf{3}[/tex3] por produtos:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_3}{a_0} \ = \ -(2\cdot 3\cdot 4 \ + \ 2\cdot 3 \cdot r \ + \ 2\cdot 4 \cdot r \ + \ 3\cdot4 \cdot r) \ \therefore \ a_3 \ = \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot a_0}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Produto das raízes:
[tex3]\mathsf{\dfrac{a_4}{a_0} \ =\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot r \ \therefore \ a_4 \ = \ 24 \cdot r \cdot a_0}[/tex3]
Perceba, portanto, que, ao substituirmos os coeficientes em [tex3]\mathsf{p(x):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot x^4 \ + \ \cancelto{-(9 \ + \ r) \cdot a_0}{a_1} \cdot x^3 \ +\ \cancelto{(26 \ + \ 9\cdot r) \cdot a_0}{a_2} \cdot x^2 \ + \ \cancelto{-(24\ + \ 26\cdot r) \cdot a_0}{a_3} \cdot x \ + \ \cancelto{24 \cdot r \cdot a_0}{a_4}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot \ \underbrace{\Big(x^4 \ -(9 \ + \ r) \cdot x^3 \ + \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot x^2 \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot x \ + \ 24 \cdot r\Big)}_{q(x)}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{p(x) \ = \ a_0 \cdot q(x).}[/tex3]
Tomando então [tex3]\mathsf{q(x) \ = \ x^4 \ -(9 \ + \ r) \cdot x^3 \ + \ (26 \ + \ 9\cdot r) \cdot x^2 \ -(24\ + \ 26\cdot r) \cdot x \ + \ 24 \cdot r}[/tex3] , ao aplicarmos as relações de Girard em seus coeficientes, teremos as mesmas raízes de [tex3]\mathsf{p(x)}[/tex3] divididas por [tex3]\mathsf{a_0}[/tex3] , e concluímos que [tex3]\mathsf{a_0}[/tex3] é uma constante multiplicativa qualquer diferente de [tex3]\mathsf{0}[/tex3] , não sendo necessariamente nenhuma das afirmações [tex3]\mathsf{(a_0 \lt 0, a_0 \gt 0, a_0 \gt 4).}[/tex3]
Alternativa [tex3]\mathsf{e).}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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