Zhadnyy, "3. Perceba que o módulo máximo é necessariamente diametralmente oposto a O(0,0)", numa correção do ITA ou do IME, eles até aceitariam você só dizer isso. Mas, a rigor, tem que demonstrar algebricamente que BD é o vetor que tem o maior módulo.
Uma outra solução, que falta rigor, é [tex3]|z-3-4i|=6 \iff \bigg|\frac{z - 3 -4i}{6}\bigg| = 1[/tex3]
, então [tex3]\frac{z - 3 -4i}{6} = \cis \varphi[/tex3]
[tex3]z = 6\cis \varphi +3 +4i[/tex3]
[tex3]|z| = |6\cis \varphi + 3 + 4i| \leqslant 6 + 5 [/tex3]
[tex3]|z| \leqslant 11[/tex3]
Daí, o máximo é [tex3]11[/tex3]
. Mas, isso é assumindo que [tex3]11[/tex3]
não é cota superior. Essa é a solução freestyle, só pra acertar na hora da prova.
A rigor, deveria ser assim: [tex3]|z|^2=|6\cis \varphi + 3 + 4i|^2 = (6\cos \varphi+3)^2+(6\sen \varphi +4)^2 = 48\sen \varphi + 36\cos \varphi + 61 [/tex3]
. Como queremos o máximo para [tex3]|z|[/tex3]
, vem que [tex3]48\sen \varphi + 36\cos \varphi[/tex3]
tem que ser máximo, que é 60 . Veja esse tópico para entender comocalcular o máximo facilmente nesse tipo de função:
viewtopic.php?f=3&t=92315&p=255164#p255164 .
Segue que, [tex3]|z|^2 = 121[/tex3]
é máximo, logo [tex3]|z| = 11[/tex3]
.