A) 9
B) 11
C) [tex3]2\sqrt{43}[/tex3]
D) 8
E) [tex3]3\sqrt{37}[/tex3]
Resposta
GAB:B
IME / ITA ⇒ Simulado EN - complexos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
03
16:14
Simulado EN - complexos
Seja o número complexo z tal que [tex3]|z-3-4i|=6[/tex3]
O maior valor de [tex3]|z|[/tex3]
, portanto é:
A) 9
B) 11
C) [tex3]2\sqrt{43}[/tex3]
D) 8
E) [tex3]3\sqrt{37}[/tex3]
GAB:B
A) 9
B) 11
C) [tex3]2\sqrt{43}[/tex3]
D) 8
E) [tex3]3\sqrt{37}[/tex3]
GAB:B
Última edição: JohnnyEN (Sáb 03 Abr, 2021 16:24). Total de 1 vez.
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Abr 2021
03
16:36
Re: Simulado EN - complexos
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2. Desenhe a circunferência e perceba que O(0,0) é um ponto interno.
3. Perceba que o módulo máximo é necessariamente diametralmente oposto a O(0,0)
4. Encontre a reta que passa por (3,4) e (0,0)
5. Faça a interseção entre a reta e a circunferência
6. O Z de maior módulo será o ponto de interseção com x > 0, devido a 3.
7. Calcule a distância para O(0,0)
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Abr 2021
03
18:19
Re: Simulado EN - complexos
Zhadnyy, "3. Perceba que o módulo máximo é necessariamente diametralmente oposto a O(0,0)", numa correção do ITA ou do IME, eles até aceitariam você só dizer isso. Mas, a rigor, tem que demonstrar algebricamente que BD é o vetor que tem o maior módulo.
Uma outra solução, que falta rigor, é [tex3]|z-3-4i|=6 \iff \bigg|\frac{z - 3 -4i}{6}\bigg| = 1[/tex3] , então [tex3]\frac{z - 3 -4i}{6} = \cis \varphi[/tex3]
[tex3]z = 6\cis \varphi +3 +4i[/tex3]
[tex3]|z| = |6\cis \varphi + 3 + 4i| \leqslant 6 + 5 [/tex3]
[tex3]|z| \leqslant 11[/tex3]
Daí, o máximo é [tex3]11[/tex3] . Mas, isso é assumindo que [tex3]11[/tex3] não é cota superior. Essa é a solução freestyle, só pra acertar na hora da prova.
A rigor, deveria ser assim: [tex3]|z|^2=|6\cis \varphi + 3 + 4i|^2 = (6\cos \varphi+3)^2+(6\sen \varphi +4)^2 = 48\sen \varphi + 36\cos \varphi + 61 [/tex3] . Como queremos o máximo para [tex3]|z|[/tex3] , vem que [tex3]48\sen \varphi + 36\cos \varphi[/tex3] tem que ser máximo, que é 60 . Veja esse tópico para entender comocalcular o máximo facilmente nesse tipo de função: viewtopic.php?f=3&t=92315&p=255164#p255164 .
Segue que, [tex3]|z|^2 = 121[/tex3] é máximo, logo [tex3]|z| = 11[/tex3] .
Uma outra solução, que falta rigor, é [tex3]|z-3-4i|=6 \iff \bigg|\frac{z - 3 -4i}{6}\bigg| = 1[/tex3] , então [tex3]\frac{z - 3 -4i}{6} = \cis \varphi[/tex3]
[tex3]z = 6\cis \varphi +3 +4i[/tex3]
[tex3]|z| = |6\cis \varphi + 3 + 4i| \leqslant 6 + 5 [/tex3]
[tex3]|z| \leqslant 11[/tex3]
Daí, o máximo é [tex3]11[/tex3] . Mas, isso é assumindo que [tex3]11[/tex3] não é cota superior. Essa é a solução freestyle, só pra acertar na hora da prova.
A rigor, deveria ser assim: [tex3]|z|^2=|6\cis \varphi + 3 + 4i|^2 = (6\cos \varphi+3)^2+(6\sen \varphi +4)^2 = 48\sen \varphi + 36\cos \varphi + 61 [/tex3] . Como queremos o máximo para [tex3]|z|[/tex3] , vem que [tex3]48\sen \varphi + 36\cos \varphi[/tex3] tem que ser máximo, que é 60 . Veja esse tópico para entender comocalcular o máximo facilmente nesse tipo de função: viewtopic.php?f=3&t=92315&p=255164#p255164 .
Segue que, [tex3]|z|^2 = 121[/tex3] é máximo, logo [tex3]|z| = 11[/tex3] .
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