Ensino Médio ⇒ Sistemas de equações e produtos notáveis

[BartdGusmão]

Considere o seguinte sistema de equações nas incógnitas 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. Sabendo que o valor negativo de 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 é tal que vale 𝐸, assinale a alternativa que traga o valor da soma dos algarimos de de [tex3]E^{2}[/tex3]

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[tex3]E^{2}[/tex3]

− 3𝐸 + 1

[tex3]\begin{cases}
6𝑎 + 𝑏 + c = 𝑎𝑏 + 𝑏c \\
6𝑏 + 𝑎 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 \\
6𝑐 + 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 \\
a^{2} + b^{2} + c^{2}= -16
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
6𝑎 + 𝑏 + c = 𝑎𝑏 + 𝑏c \\
6𝑏 + 𝑎 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 \\
6𝑐 + 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 \\
a^{2} + b^{2} + c^{2}= -16
\end{cases}[/tex3]

(A) 8
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14

[iammaribrg]

Pelo conhecimento dos produtos notáveis, temos:
[tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex3]

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[tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex3]

= [tex3](a + b + c)^{2}[/tex3]

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[tex3](a + b + c)^{2}[/tex3]

- 2(ab + bc + ac). Como o termo ab + bc + ac é negativo, ele vai passar somando.
Pelo sistema 2(ab+bc+ ac)=8(a + b + c). Substituindo na equação original:
-16= [tex3](a + b + c)^{2}[/tex3]

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[tex3](a + b + c)^{2}[/tex3]

+ 8(a+b+c)
Fatorando:
(a + b + c)(a + b + c + = -16. Ou seja, a + b + c= -16 ou a + b + c=-24.
Eu testei os dois valores e com o -24 não deu certo. Com o -16 ficou:
256 + 48 + 1= 305, cuja soma dos algarismos é 8.

Portanto, creio que seja letra A

[petras]

iammaribrg,

E = o valor negativo de(ab+ac+bc)
Em E^2-3E+1 você substituiu o E por a+b+c???

(a + b + c)(a + b + c + 8 )= -16. Ou seja, a + b + c = -16 ou a + b + c = -24.
De onde surgiu os valores de a+b+c? Você não pode igualar cada fator ao resultado. Fazemos isso quando o produto é igual a zero.


[tex3]-16= (a+b+c)^2+ 8(a+b+c)\rightarrow fazendo~ a+b+c =y\rightarrow \\
y^2+8y+16 = 0\rightarrow y = -4\therefore \boxed{a+b+c = -4}\\
a^2 +b^2 +c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac)\rightarrow -16=(-4)^2-2(ab+bc+ac)\rightarrow \\
-32 = -2(ab+bc+ac)\rightarrow ab+bc+ac = 16\therefore \boxed{E = -16}[/tex3]

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[tex3]-16= (a+b+c)^2+ 8(a+b+c)\rightarrow fazendo~ a+b+c =y\rightarrow \\
y^2+8y+16 = 0\rightarrow y = -4\therefore \boxed{a+b+c = -4}\\
a^2 +b^2 +c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac)\rightarrow -16=(-4)^2-2(ab+bc+ac)\rightarrow \\
-32 = -2(ab+bc+ac)\rightarrow ab+bc+ac = 16\therefore \boxed{E = -16}[/tex3]

[iammaribrg]

petras eu tinha digitado errado na vdd. Era pra ter sido ab + bc + ac. Sobre essa da multiplicação eu confesso que não sabia, mas valeu pela correção

[petras]

iammaribrg,

É simples de entender.

Se um produto de 2 fatores é nulo, necessariamente um dos fatores precisa ser zero.
Se o produto é um número real teremos infinitas possibilidades para o valor dos fatores.
No nosso caso (1.-16),( 2, -8), (4.-4)...(-1,6.10)...etc