IME / ITA ⇒ Apostila Poliedro IME/ITA (equação Trigonometria) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Alguém me ajuda pfvvv tô desde tarde tentando essa questão!

13) Resolva as equações trigonométricas considerando [tex3]x \in\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in\mathbb{R}[/tex3]

c) [tex3](1-\tg x)\cdot(1+\sen2x) = 1 + \tg x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-\tg x)\cdot(1+\sen2x) = 1 + \tg x[/tex3]

[tex3]S = \{x \in\mathbb{R}| x = k\pi\text{ ou }
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi ; k\in\mathbb{Z}\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{x \in\mathbb{R}| x = k\pi\text{ ou }
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi ; k\in\mathbb{Z}\}[/tex3]

[pedrocg2008]

Tentei usando cos 2x = (1-tgx)/(1+tgx), mas não está saindo nada!

[jpedro09]

[tex3]sen(2x)=\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(2x)=\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}[/tex3]

[tex3]\therefore (1-tg(x))\left(1+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}\right)=1+tg(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore (1-tg(x))\left(1+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}\right)=1+tg(x)[/tex3]

[tex3]1+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}-tg(x)-\frac{2tg^2(x)}{1+tg^2(x)}=1+tg(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}-tg(x)-\frac{2tg^2(x)}{1+tg^2(x)}=1+tg(x)[/tex3]

[tex3]2tg(x)+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}-\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}=0 \rightarrow 2tg(x)+2tg^3(x)+2tg^2(x)-2tg(x)=0 \rightarrow tg^2(x)(2tg(x)+2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2tg(x)+\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}-\frac{2tg(x)}{1+tg^2(x)}=0 \rightarrow 2tg(x)+2tg^3(x)+2tg^2(x)-2tg(x)=0 \rightarrow tg^2(x)(2tg(x)+2)=0[/tex3]

Portanto:

[tex3]tg^2(x)=0 \therefore x=0+k\pi=k\pi[/tex3]

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[tex3]tg^2(x)=0 \therefore x=0+k\pi=k\pi[/tex3]

[tex3]2tg(x)+2=0 \rightarrow tg(x)=-1 \therefore x = \frac{3\pi}{4}+k\pi [/tex3]

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[tex3]2tg(x)+2=0 \rightarrow tg(x)=-1 \therefore x = \frac{3\pi}{4}+k\pi [/tex3]

[NathanMoreira]

pedrocg2008 ,

[tex3](1-\tg x).(1+\sen 2x) = 1 + \tg x[/tex3]

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[tex3](1-\tg x).(1+\sen 2x) = 1 + \tg x[/tex3]

[tex3]\left(1-\frac{\sen x}{cos x}\right).(1+2.\sen x.\cos x) = 1 + \frac{\sen x}{\cos x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(1-\frac{\sen x}{cos x}\right).(1+2.\sen x.\cos x) = 1 + \frac{\sen x}{\cos x}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{\cos x-\sen x}{\cos x}\right).(1+2.\sen x.\cos x) = \frac{\cos x+\sen x}{\cos x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{\cos x-\sen x}{\cos x}\right).(1+2.\sen x.\cos x) = \frac{\cos x+\sen x}{\cos x}[/tex3]

[tex3]\frac{(\cos x-\sen x).(1+2.\sen x.\cos x)}{\cos x}=\frac{(\sen x+\cos x)}{\cos x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(\cos x-\sen x).(1+2.\sen x.\cos x)}{\cos x}=\frac{(\sen x+\cos x)}{\cos x}[/tex3]

[tex3](\cos x-\sen x).(1+2.\sen x.\cos x)=(\sen x+\cos x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\cos x-\sen x).(1+2.\sen x.\cos x)=(\sen x+\cos x)[/tex3]

[tex3]\cos x+2.\sen x.\cos^2x-\sen x-2.\sen^2 x.\cos x=\sen x+\cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x+2.\sen x.\cos^2x-\sen x-2.\sen^2 x.\cos x=\sen x+\cos x[/tex3]

[tex3]2.\sen x.\cos^2x-2.\sen^2 x.\cos x-2.\sen x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sen x.\cos^2x-2.\sen^2 x.\cos x-2.\sen x=0[/tex3]

[tex3]2.\sen x.(1-\sen^2x)-2.(1-\cos^2x).\cos x-2.\sen x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sen x.(1-\sen^2x)-2.(1-\cos^2x).\cos x-2.\sen x=0[/tex3]

[tex3]2.\sen x-2.\sen^3x-2.(\cos x-\cos^3x)-2.\sen x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sen x-2.\sen^3x-2.(\cos x-\cos^3x)-2.\sen x=0[/tex3]

[tex3]-2.\sen^3x+2.\cos^3 x-2.\cos x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-2.\sen^3x+2.\cos^3 x-2.\cos x=0[/tex3]

[tex3]2.\sen x.(\cos^2x-1)+2.\cos x.(cos^2x-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sen x.(\cos^2x-1)+2.\cos x.(cos^2x-1)=0[/tex3]

[tex3](2.\sen x+2\cos x).(\cos^2x-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2.\sen x+2\cos x).(\cos^2x-1)=0[/tex3]

---

[tex3]2.\sen x+2.\cos x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sen x+2.\cos x=0[/tex3]

[tex3]\sen x=-\cos x[/tex3]

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[tex3]\sen x=-\cos x[/tex3]

Relação Fundamental da Trigonometria: [tex3]\sen^2x+\cos^2x=1[/tex3]

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[tex3]\sen^2x+\cos^2x=1[/tex3]

[tex3](-\cos x)^2+\cos^2x=1[/tex3]

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[tex3](-\cos x)^2+\cos^2x=1[/tex3]

[tex3]\cos^2x=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2x=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2} [/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2} [/tex3]

---

[tex3]\cos^2x-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2x-1=0[/tex3]

[tex3]\cos^2x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^2x=1[/tex3]

[tex3]\cos x=\pm 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x=\pm 1[/tex3]

[tex3]x=2\pi +k.\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2\pi +k.\pi [/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]x=2\pi +k.\pi\text{ ou }\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2\pi +k.\pi\text{ ou }\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}[/tex3]

[pedrocg2008]

Muitoo obrigado! jpedro09 e NathanMoreira ajudaram demais!