IME / ITA ⇒ folha Poliedro IME/ITA (geometria) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Oii gente boa tarde!! Estou a um tempo tentando essa questão, acabei de conseguir fazer, mas não achei gabarito e se está cero, me ajudem pfv!!!!
Na figura, A e T são pontos de tangencia, AT=BT=4, NB=3AB. Calcule NA.

Poliedro folha ime/ita

IMG-20210130-WA0005.jpg (22.02 KiB) Exibido 1867 vezes

Resposta

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Na internet achei como resposta 4 e 4raiz de 2,
Porém meu resultado deu 8!

[FelipeMartin]

Como A é ponto de tangência, os círculos são homotéticos por ele viewtopic.php?t=74548 .

isso implica que os arcos AN e AT têm a mesma medida em graus.

Então [tex3]\angle NBA = \angle ATB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle NBA = \angle ATB[/tex3]

o último é ângulo de segmento e o primeiro enxerga o arco AN.

Logo [tex3]\triangle NBA \sim \triangle NTB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle NBA \sim \triangle NTB[/tex3]

por terem o mesmo ângulo em [tex3]N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N[/tex3]

e os mesmos em [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

e [tex3]T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T[/tex3]

:

[tex3]\frac{NB}{AB} = \frac{NT}{BT} \iff NT = 3BT = 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{NB}{AB} = \frac{NT}{BT} \iff NT = 3BT = 12[/tex3]

Então bate com a sua resposta mesmo: [tex3]NA = NT - AT = 12-4 = 8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]NA = NT - AT = 12-4 = 8[/tex3]

[pedrocg2008]

Muitoooo obrigadooo! Ajudou demais!
Fiz por Teorema da bissetriz externa, mas dá muito mais trabalho, por homotetia é bem mais rápido!!!

[FelipeMartin]

sim, caso você não tenha visto a minha resposta depois da edição vou linkar aqui a prova de que eles são homotéticos:

viewtopic.php?t=74548