IME / ITA ⇒ Escola Naval --- função trigonométrica Tópico resolvido

[RumoEFOMM]

Seja f(X) = [tex3]\left(\frac{1- x^{2}}{1 + x^{2}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1- x^{2}}{1 + x^{2}}\right)[/tex3]

definida nos reais e seja g(x) = tan x definida no intervalo aberto ]-pi/2, pi/2[.
Se x [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

]-pi , +pi[, então o valor da função composta fog no número x/2 é igual a :

A) cos2x
B) tanx
C) senx
D) cos x

Resposta

---

D

[A13235378]

Olá,

[tex3]fog=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}=\frac{\frac{cos^2x-sen^2x}{cos^2x}}{\frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x}}=\frac{cos(2x)}{1}[/tex3]

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[tex3]fog=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}=\frac{\frac{cos^2x-sen^2x}{cos^2x}}{\frac{cos^2x+sen^2x}{cos^2x}}=\frac{cos(2x)}{1}[/tex3]

Para x=x/2

Temos que fog = cos x

[NathanMoreira]

[tex3]fog(x/2)=\frac{1-[g(x/2)]^{2}}{1+[g(x/2)]^{2}}[/tex3]

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[tex3]fog(x/2)=\frac{1-[g(x/2)]^{2}}{1+[g(x/2)]^{2}}[/tex3]

[tex3]fog(x/2)=\frac{1-tg^{2}(x/2)}{1+tg^{2}(x/2)}[/tex3]

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[tex3]fog(x/2)=\frac{1-tg^{2}(x/2)}{1+tg^{2}(x/2)}[/tex3]

Relação Trigonométrica da tangente da Bissecção de Arcos:

[tex3]tg(x/2)=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

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[tex3]tg(x/2)=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

Elevando os dois lados ao quadrado:

[tex3]tg^{2}(x/2)=\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}[/tex3]

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[tex3]tg^{2}(x/2)=\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}[/tex3]

, com [tex3]cos(x)\neq -1[/tex3]

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[tex3]cos(x)\neq -1[/tex3]

Substituindo na [tex3]fog(x/2):[/tex3]

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[tex3]fog(x/2):[/tex3]

[tex3]fog(x/2)=\frac{1-\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}{1+\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

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[tex3]fog(x/2)=\frac{1-\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}{1+\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

[tex3]fog(x/2)=\frac{\frac{1+cos(x)-1+cos(x))}{1+cos(x)}}{\frac{1+cos(x)+1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]fog(x/2)=\frac{\frac{1+cos(x)-1+cos(x))}{1+cos(x)}}{\frac{1+cos(x)+1-cos(x)}{1+cos(x)}}[/tex3]

[tex3]fog(x/2)=\frac{\frac{2.cos(x)}{1+cos(x)}}{\frac{2}{1+cos(x)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]fog(x/2)=\frac{\frac{2.cos(x)}{1+cos(x)}}{\frac{2}{1+cos(x)}}[/tex3]

[tex3]fog(x/2)=\frac{2.cos(x)}{1+cos(x)}.\frac{1+cos(x)}{2}[/tex3]

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[tex3]fog(x/2)=\frac{2.cos(x)}{1+cos(x)}.\frac{1+cos(x)}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{fog(x/2)=cos(x)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{fog(x/2)=cos(x)}[/tex3]

Alternativa D.