IME / ITA

Seja [tex3]p[/tex3] a soma dos módulos das raízes da equação [tex3]x^{3}+8=0[/tex3] e [tex3]q[/tex3] o módulo do número complexo [tex3]Z[/tex3] , tal que [tex3]Z\overline{Z}=108[/tex3] , onde [tex3]\overline{Z}[/tex3] é o conjugado de [tex3]Z[/tex3] . Uma representação trigonométrica do número complexo [tex3]p+qi[/tex3] é

A) [tex3]12(cos\frac{\pi }{3}+isen\frac{\pi }{3})[/tex3]

B) [tex3]20(cos\frac{\pi }{3}+isen\frac{\pi }{3})[/tex3]

C) [tex3]12(cos\frac{\pi }{6}+isen\frac{\pi }{6})[/tex3]

D) [tex3]20\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{6}+isen\frac{\pi }{6})[/tex3]

E) [tex3]10(cos\frac{\pi }{3}+isen\frac{\pi }{3})[/tex3]

Resposta

GAB: A

[tex3]Z\overline{Z}=|z|^2[/tex3]
Demonstração:
[tex3]z = a+bi\rightarrow Z\overline{Z} = (a+bi) \cdot (a-bi) = a^2+b^2 = |z|^2[/tex3]
Então:
[tex3]|z|^2 = 108 [/tex3]
[tex3]q=|z|= 6\sqrt{3} [/tex3]

____________________________________________________-

[tex3]x^{3}+8=0[/tex3]
[tex3](x+2) \cdot (x^2-2x+4)=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x=-2 \\
x=1+i\sqrt{3} \\
x = 1-i\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]p = |-2|+|1-i\sqrt{3}|+|1+i\sqrt{3}| = 2 + \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} + \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} = 6[/tex3]

____________________________________________________

[tex3]p+qi = 6+6\sqrt{3}i [/tex3]
[tex3]|p+qi| = \sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2} =12 [/tex3]
[tex3]\frac{6}{12} =cos(60^o) [/tex3]
[tex3]\frac{6\sqrt{3}}{12} =sen(60^o) [/tex3]
[tex3]\boxed{p+qi = 12(cos\frac{\pi }{3}+isen\frac{\pi }{3})}[/tex3]

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