IME / ITA ⇒ ITA 01 - Conjuntos Tópico resolvido

[Maifa]

Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de IR, não vazios. Com respeito às afirmações:

1. X∩{[Y∩(X∪Y)']∪[X∪(XC ∩Y')']} = X
2. Se Z ⊂ X, então {(Z∪Y)∪(X∪(Z'∩Y))} = X∪Y.
3. Se (X∪Y)C ⊂ Z, então Z'⊂X.

Obs: Estou considerando ' como a notação de complementar.

Resposta

---

Apenas 1 e 2 são verdadeiras

Eu consegui provar a afirmação 2 considerando (X∪Z')=X e (X∪Z)=X. É errado afirmar isso mesmo que Z ⊂ X?

Teria como resolver apenas com álgebra de conjuntos? Obrigado!!

[A13235378]

Olá,

A segunda afirmação está correta, mas a primeira não, pois o conjunto universo U também está contido no complementar de Z.

Algumas relações importantes:

[tex3]A∪(B∩C)=(A∪B)∩(AUC)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A∪(B∩C)=(A∪B)∩(AUC)[/tex3]

[tex3](A∪B)^{C}=(A^C∩B^C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](A∪B)^{C}=(A^C∩B^C)[/tex3]

(De Morgan)
[tex3](A∪B)∪(A∪C)=A∪(B∪C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](A∪B)∪(A∪C)=A∪(B∪C)[/tex3]

Temos:

[tex3](Z∪Y)∪(X∪(Z^C∩Y))=(Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](Z∪Y)∪(X∪(Z^C∩Y))=(Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

A intersecção do complementar de X com Z é o vazio. O complementar de vazio é o próprio universo. Fazendo a intersecção do universo com X∪Y , encontramos apenas X∪Y

[tex3]=(Z∪Y)∪(X∪Y)=Y∪(X∪Z)=Y∪X[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(Z∪Y)∪(X∪Y)=Y∪(X∪Z)=Y∪X[/tex3]

[Maifa]

Aqui nessa parte [tex3](Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

Como que [tex3](X∪Z^C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](X∪Z^C)[/tex3]

virou [tex3](X^C ∩Z)^C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](X^C ∩Z)^C[/tex3]

? Pode aplicar livremente o complementar só uma "parcela" sem alterar a igualdade?

[A13235378]

Aqui nessa parte [tex3](Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](Z∪Y)∪((X∪Z^C)∩(X∪Y))=(Z∪Y)∪((X^C ∩Z)^C∩(X∪Y))[/tex3]

Como que [tex3](X∪Z^C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](X∪Z^C)[/tex3]

virou [tex3](X^C ∩Z)^C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](X^C ∩Z)^C[/tex3]

? Pode aplicar livremente o complementar só uma "parcela" sem alterar a igualdade?

Isso é uma propriedade de De morgan para conjuntos.

[Maifa]

A, agora eu entendi! Obrigado. Não tava visualizando a propriedade ali.