IME / ITA ⇒ (ITA) Geometria analitica Tópico resolvido

[JohnnyEN]

A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta [tex3]y = mx,m>0[/tex3]

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[tex3]y = mx,m>0[/tex3]

forma com o eixo dos x, é:

A) [tex3]y= \frac{1+\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

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[tex3]y= \frac{1+\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

B) [tex3]y= \frac{1-\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

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[tex3]y= \frac{1-\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

C) [tex3]y= \frac{-1-\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

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[tex3]y= \frac{-1-\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

D) [tex3]y= \frac{-1+\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

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[tex3]y= \frac{-1+\sqrt{1+m^{2}}}{m}x[/tex3]

E) [tex3]n.d.a[/tex3]

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[tex3]n.d.a[/tex3]

Resposta

---

GAB: D

[A13235378]

Olá,

Considere um ponto qualquer da reta bissetriz: (x,y)

As distancias desse ponto com a reta y = mx e com o eixo x são as mesmas:

[tex3]\frac{|y-mx|}{\sqrt{1+m^2}}=|y|\rightarrow \frac{y-mx}{\sqrt{1+m^2}}=\pm y[/tex3]

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[tex3]\frac{|y-mx|}{\sqrt{1+m^2}}=|y|\rightarrow \frac{y-mx}{\sqrt{1+m^2}}=\pm y[/tex3]

Temos entao:

[tex3]y\sqrt{1+m^2}=y-mx\rightarrow y=\frac{-m}{\sqrt{1+m^2}-1}x=\frac{-m\sqrt{1+m^2}-m}{m^2}=\frac{-1-\sqrt{1+m^2}}{m}x[/tex3]

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[tex3]y\sqrt{1+m^2}=y-mx\rightarrow y=\frac{-m}{\sqrt{1+m^2}-1}x=\frac{-m\sqrt{1+m^2}-m}{m^2}=\frac{-1-\sqrt{1+m^2}}{m}x[/tex3]

ou

[tex3]-y\sqrt{1+m^2}=y-mx\rightarrow y=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}+1}x=\frac{m\sqrt{1+m^2}-m}{m^2}=\frac{-1+\sqrt{1+m^2}}{m}x[/tex3]

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[tex3]-y\sqrt{1+m^2}=y-mx\rightarrow y=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}+1}x=\frac{m\sqrt{1+m^2}-m}{m^2}=\frac{-1+\sqrt{1+m^2}}{m}x[/tex3]

Perceba que como o coeficiente angular da reta bissetriz é positivo (primeiro quadrante), apenas o segundo resultado é válido.

[careca]

Achei uma solução interessante.

Na equação y = mx

Observe que o coeficiente angular da reta é m.

Ou seja, tgθ = m

A bissetriz seria a reta da forma y = nx para n = tg(θ/2)

tgΘ = [2.tg(Θ/2)] / 1 - tg(θ/2)^2

Agora é só chamar m de tgθ e encontrar tg(θ/2) em função de m.