IME / ITA ⇒ Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Oii boa noite estou tentando o dia inteiro resolver essa questão usando geometria mas não consigo alguém poderia me ajudar.
Ps. Por trigonometria eu sei como resolver, mas estou querendo aprender a resolve-lá por geometria plana!

Questão 19 pessoal

Em um triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

, de hipotenusa [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

, seja [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

um ponto do cateto [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

tal que [tex3]AD=1[/tex3]

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[tex3]AD=1[/tex3]

, [tex3]DB=10[/tex3]

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[tex3]DB=10[/tex3]

e o ângulo [tex3]B\hat{C}D=30°[/tex3]

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[tex3]B\hat{C}D=30°[/tex3]

. Se a medida do cateto [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

possui a forma [tex3]m + n\sqrt{p}[/tex3]

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[tex3]m + n\sqrt{p}[/tex3]

com [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

, [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

e [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

números inteiros positivos, o valor de [tex3]m + n + p[/tex3]

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[tex3]m + n + p[/tex3]

é igual a:

a)16 b)14 c)12 d)10 e)8

Resposta

---

gabarito letra (a)

[A13235378]

Olá,

Sabemos que:

[tex3]DC=\sqrt{1^2+AC^2}[/tex3]

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[tex3]DC=\sqrt{1^2+AC^2}[/tex3]

[tex3]BC=\sqrt{11^2+AC^2}[/tex3]

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[tex3]BC=\sqrt{11^2+AC^2}[/tex3]

Usando uma lei dos cossenos no triangulo BCD:

[tex3]10^2=1+AC^2+121+AC^2-2\sqrt{(1+AC^2)(121+AC^2)}cos30^{o}\rightarrow 2AC^2+22=\sqrt{3(AC^4+122AC^2+121)}[/tex3]

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[tex3]10^2=1+AC^2+121+AC^2-2\sqrt{(1+AC^2)(121+AC^2)}cos30^{o}\rightarrow 2AC^2+22=\sqrt{3(AC^4+122AC^2+121)}[/tex3]

[tex3]\rightarrow 4AC^4+88AC^2+484=3AC^4+366AC^2+363\rightarrow AC^4-278AC^2+121=0[/tex3]

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[tex3]\rightarrow 4AC^4+88AC^2+484=3AC^4+366AC^2+363\rightarrow AC^4-278AC^2+121=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow AC=\sqrt{139\pm 80\sqrt{3}}\rightarrow AC=\sqrt{(8\pm5\sqrt{3)^2}}\rightarrow AC=8+5\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow AC=\sqrt{139\pm 80\sqrt{3}}\rightarrow AC=\sqrt{(8\pm5\sqrt{3)^2}}\rightarrow AC=8+5\sqrt{3}[/tex3]

[pedrocg2008]

Obrigado pela ajuda!!! Por acaso você sabe algum jeito de resolver essa questão somente com geometria plana, criando retas auxiliares?

[NigrumCibum]

pedrocg2008, trace a perpendicular desde D até BC (encontrando BC em H) e seja AC=x.
[tex3]BC=\sqrt{x^2+121}[/tex3]

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[tex3]BC=\sqrt{x^2+121}[/tex3]

, [tex3]DC=\sqrt{x^2+1}[/tex3]

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[tex3]DC=\sqrt{x^2+1}[/tex3]

, como DHC é um triângulo de ângulos 30°-60°-90°, temos: [tex3]DH=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}[/tex3]

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[tex3]DH=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}[/tex3]

, [tex3]CH=\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3]

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[tex3]CH=\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3]

, dessa forma: [tex3]BH=\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BH=\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3]

. Então é só aplicar pitágoras no triângulo BDH: [tex3](\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{x^2+1}}{2})^2=10^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{x^2+1}}{2})^2=10^2[/tex3]

então basta simplificar e resolver:
[tex3]x^4-278x^2+121=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4-278x^2+121=0[/tex3]

[pedrocg2008]

Muitooo obrigado a todos!!!! Me ajudaram demais!