IME / ITAApostila Poliedro Geometria plana(ita/ime) Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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pedrocg2008
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Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime)

Mensagem não lida por pedrocg2008 »

Oii boa noite estou tentando o dia inteiro resolver essa questão usando geometria mas não consigo alguém poderia me ajudar.
Ps. Por trigonometria eu sei como resolver, mas estou querendo aprender a resolve-lá por geometria plana!

Questão 19 pessoal

Em um triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3] , de hipotenusa [tex3]BC[/tex3] , seja [tex3]D[/tex3] um ponto do cateto [tex3]AB[/tex3] tal que [tex3]AD=1[/tex3] , [tex3]DB=10[/tex3] e o ângulo [tex3]B\hat{C}D=30°[/tex3] . Se a medida do cateto [tex3]AC[/tex3] possui a forma [tex3]m + n\sqrt{p}[/tex3] com [tex3]m[/tex3] , [tex3]n[/tex3] e [tex3]p[/tex3] números inteiros positivos, o valor de [tex3]m + n + p[/tex3] é igual a:

a)16 b)14 c)12 d)10 e)8

Resposta

gabarito letra (a)

Última edição: caju (Qui 24 Dez, 2020 10:20). Total de 3 vezes.
Razão: retirar o enunciado da imagem (regra 1).



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A13235378
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Dez 2020 24 09:24

Re: Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime)

Mensagem não lida por A13235378 »

Olá,

Sabemos que:

[tex3]DC=\sqrt{1^2+AC^2}[/tex3]

[tex3]BC=\sqrt{11^2+AC^2}[/tex3]

Usando uma lei dos cossenos no triangulo BCD:

[tex3]10^2=1+AC^2+121+AC^2-2\sqrt{(1+AC^2)(121+AC^2)}cos30^{o}\rightarrow 2AC^2+22=\sqrt{3(AC^4+122AC^2+121)}[/tex3]

[tex3]\rightarrow 4AC^4+88AC^2+484=3AC^4+366AC^2+363\rightarrow AC^4-278AC^2+121=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow AC=\sqrt{139\pm 80\sqrt{3}}\rightarrow AC=\sqrt{(8\pm5\sqrt{3)^2}}\rightarrow AC=8+5\sqrt{3}[/tex3]



"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

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pedrocg2008
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Dez 2020 24 13:10

Re: Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime)

Mensagem não lida por pedrocg2008 »

Obrigado pela ajuda!!! Por acaso você sabe algum jeito de resolver essa questão somente com geometria plana, criando retas auxiliares?



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NigrumCibum
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Dez 2020 24 13:47

Re: Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime)

Mensagem não lida por NigrumCibum »

pedrocg2008, trace a perpendicular desde D até BC (encontrando BC em H) e seja AC=x.
[tex3]BC=\sqrt{x^2+121}[/tex3] , [tex3]DC=\sqrt{x^2+1}[/tex3] , como DHC é um triângulo de ângulos 30°-60°-90°, temos: [tex3]DH=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}[/tex3] , [tex3]CH=\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3] , dessa forma: [tex3]BH=\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2}[/tex3] . Então é só aplicar pitágoras no triângulo BDH: [tex3](\sqrt{x^2+121}-\frac{\sqrt{3+3x^2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{x^2+1}}{2})^2=10^2[/tex3] então basta simplificar e resolver:
[tex3]x^4-278x^2+121=0[/tex3]
Última edição: NigrumCibum (Qui 24 Dez, 2020 21:53). Total de 2 vezes.


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pedrocg2008
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Re: Apostila Poliedro Geometria plana(ita/ime)

Mensagem não lida por pedrocg2008 »

Muitooo obrigado a todos!!!! Me ajudaram demais!




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