IME / ITA(Apostila-IME/ITA) Equação Funcional

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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RumoEFOMM
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(Apostila-IME/ITA) Equação Funcional

Mensagem não lida por RumoEFOMM »

Considere uma função [tex3]f[/tex3] de [tex3]\mathbb{R}[/tex3] em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] não constante e tal que [tex3]f(x+y) = f(x)\cdot f(y),[/tex3] qualquer [tex3]x,[/tex3] [tex3]y[/tex3] pertencente aos reais. Das afirmações a seguir, é(são) verdadeira(s):

1) [tex3]f(0) = 0[/tex3]
2) [tex3]f(x)> 0,[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] pertencente aos Reais
3) [tex3]f[/tex3] é sobrejetiva

A) 1,2 e 3
B) 2
C) 1 e 2
D) 2 e 3
E) 3
Resposta

B

Última edição: MateusQqMD (Seg 14 Dez, 2020 10:16). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título (regra 4).



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A13235378
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Re: (Apostila-IME/ITA) Equação Funcional

Mensagem não lida por A13235378 »

Olá:

I) Peguemos x,y = 0

Temos:

[tex3]f(0)=f^2(0)[/tex3]

Assim , temos duas possibilidades , f(0) = 0 ou f(0) = 1

Para f(0) = 0 , peguemos x= 0 , y= k

f(k) = f(0).f(k) = 0

Sendo um absurdo, pois a função é constante, logo f(0) = 1

II) Para qualquer valor do dominio (k) , basta pegarmos , x=y= k/2

Logo,

[tex3]f(k)=f^2(\frac{k}{2})>0[/tex3]


III) Como f(x) > 0 , não teremos uma função sobrejetora.



"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

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deOliveira
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Dez 2020 14 08:44

Re: (Apostila-IME/ITA) Equação Funcional

Mensagem não lida por deOliveira »

Quando eu fui enviar já tinha a resposta do colega aí, mas envio a minha da mesma forma para chamar atenção que em 2) não podemos concluir de cara que [tex3]f(x)=(f(x/2))^2>0[/tex3] .

[tex3]f:\mathbb R\to\mathbb R[/tex3] não constante tal que [tex3]f(x+y)=f(x)f(y),\ \forall x,y\in\mathbb R[/tex3] .

1)[tex3]0=0+0\implies f(0)=f(0+0)=(f(0))^2\\\implies f(0)=(f(0))^2\\\implies f(0)=0\ ou\ f(0)=1[/tex3]
Suponha, por absurdo, que [tex3]f(0)=0[/tex3] . Dado qualquer número real [tex3]x[/tex3] temos que [tex3]x=0+x[/tex3] .
[tex3]\implies f(x)=f(0+x)=f(0)f(x)=0f(x)=0[/tex3]
[tex3]\implies f(x)=0[/tex3] para todo número real [tex3]x[/tex3] , o que é um absurdo, pois [tex3]f[/tex3] é não constante.
Dessa forma, temos que [tex3]f(0)=1[/tex3] e que a afirmação 1) é falsa.

2)Seja [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] dado de forma arbitrária. Temos que [tex3]x=\frac x2+\frac x2[/tex3] .
[tex3]\implies f(x)=f\(\frac x2+\frac x2\)=\(f\(\frac x2\)\)^2\ge0[/tex3]
Temos então que [tex3]f(x)\ge0[/tex3] para todo [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] .

Vamos analisar o que acontece se [tex3]f(a)=0[/tex3] para algum [tex3]a\in\mathbb R[/tex3] .
Para todo [tex3]x\in\mathbb R[/tex3] , temos [tex3]x=a+(x-a).[/tex3]
[tex3]\implies f(x)=f(a+(x-a))=f(a)f(x-a)=0f(x-a)=0[/tex3] absurdo, pois teríamos [tex3]f[/tex3] identicamente nula.

Dessa forma, concluímos que [tex3]f(x)>0, \forall x\in\mathbb R[/tex3] , e a afirmativa 2) está correta.

3) Como a 2) está correta, temos que [tex3]f[/tex3] não é sobrejetiva, já que [tex3]\not\exists x\in\mathbb R[/tex3] tal que [tex3]f(x)\le0[/tex3] .

Espero ter ajudado.



Saudações.

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