Resposta
Reposta: R(x)=-2x3+2x2+x+5
IME / ITA ⇒ (ITA) Polinômios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2020
24
09:51
(ITA) Polinômios
Um polinômio P(x) dividido por x2+x+1 dá resto -x+1 e divido por x2-x+1 da resto 3x+5. Qual o resto da divisão de P(x) por x4+x2+1?
Reposta: R(x)=-2x3+2x2+x+5
Reposta: R(x)=-2x3+2x2+x+5
Set 2020
24
12:53
Re: (ITA) Polinômios
Olá:
Primeiro , perceba
[tex3](x^{2}+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1=D_3(x)[/tex3]
Considere que:
[tex3]P(x)=Q_1(x)(x^2+x+1)+r_1(x)[/tex3] , onde [tex3]r_{1}(x)=-x-1[/tex3] e [tex3]P(x)=Q_2(x)(x^2-x+1)+r_2(x)[/tex3] onde [tex3]r_{2}(x)=-3x-5[/tex3]
Chamaremos as raízes de [tex3]x^{2}+x+1[/tex3] de [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3]
Chamaremos as raízes de [tex3]x^{2}-x+1[/tex3] de [tex3]x_3[/tex3] e [tex3]x_{4}[/tex3]
Logo,
[tex3]P({x_1})=r_1(x_1)=-x_1-1[/tex3]
[tex3]P({x_2})=r_1(x_2)=-x_2-1[/tex3]
[tex3]P({x_3})=r_2(x_3)=3x_3+5[/tex3]
[tex3]P({x_4})=r_2(x_4)=3x_4+5[/tex3]
Vamos aplicar as relaçoes de girard para encontrar os seguintes resultados (logo, logo , você saberá o motivo)
[tex3]x_1+x_2=-1[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-1[/tex3]
[tex3]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=-1-3(1)(-1)=3[/tex3]
[tex3]x_3+x_4=1[/tex3]
[tex3]x_3^2+x_4^2=(x_3+x_4)^2-2x_3x_4=-1[/tex3]
[tex3]x_3^3+x_4^3=(x_3+x_4)^3-3x_3x_4(x_3+x_4)=1-3(1)(1)=-2[/tex3]
Portanto:
[tex3]P(x)=D_3(x)Q_3(x)+r_3(x)[/tex3]
Note que as raízes de [tex3]D_{3}(x)[/tex3] sao : [tex3]x_{1},x_2,x_3,x_4[/tex3]
Lembre-se que o grau do resto sempre é menor que o grau do divisor, assim podemos escrever que:
[tex3]r_3(x)=ax^{3}+bx^2+cx+d[/tex3]
Por fim,
[tex3]P(x_1)=r_3(x_1)=r_1(x_1) [/tex3]
[tex3]P(x_2)=r_3(x_2)=r_1(x_2) [/tex3]
[tex3]P(x_3)=r_3(x_3)=r_2(x_3) [/tex3]
[tex3]P(x_4)=r_3(x_4)=r_2(x_4) [/tex3]
Montaremos entao um sistema de quatro equações:
[tex3]r_3(x_1)=ax_1^{3}+bx_1^2+cx_1+d=-x_1-1[/tex3]
[tex3]r_3(x_2)=ax_2^{3}+bx_2^2+cx_2+d=-x_2-1[/tex3]
[tex3]r_3(x_3)=ax_3^{3}+bx_3^2+cx_3+d=3x_3+5[/tex3]
[tex3]r_3(x_4)=ax_4^{3}+bx_4^2+cx_4+d=3x_4+5[/tex3]
Bom agora é só fazer as manipulaçoes, soma as duas primeiras e monta uma equaçao em funçao de a,b,c,d
Soma as duas ultimas e monta outra equaçao em funcao de a,b,c,d
AH! Esqueci de avisar que voce tambem vai precisar saber da diferença das raizes, para isso , usa [tex3](a-b)^{2}=a^2-2ab+b^2[/tex3]
Com isso ,os dois ultimas sistemas voce encontra a partir da diferença.
Assim , encontra-se os quatros sistemas e só resolver.
Duas obs:
1) Eu nao seise tem um jeito mais facil de resolver, caso alguem saiba , ficaria agradecido.
2) Eu nao terminei ainda , entao pode ser que não dê certo
, caso consiga poderia me dar um feedback?
Primeiro , perceba
[tex3](x^{2}+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1=D_3(x)[/tex3]
Considere que:
[tex3]P(x)=Q_1(x)(x^2+x+1)+r_1(x)[/tex3] , onde [tex3]r_{1}(x)=-x-1[/tex3] e [tex3]P(x)=Q_2(x)(x^2-x+1)+r_2(x)[/tex3] onde [tex3]r_{2}(x)=-3x-5[/tex3]
Chamaremos as raízes de [tex3]x^{2}+x+1[/tex3] de [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3]
Chamaremos as raízes de [tex3]x^{2}-x+1[/tex3] de [tex3]x_3[/tex3] e [tex3]x_{4}[/tex3]
Logo,
[tex3]P({x_1})=r_1(x_1)=-x_1-1[/tex3]
[tex3]P({x_2})=r_1(x_2)=-x_2-1[/tex3]
[tex3]P({x_3})=r_2(x_3)=3x_3+5[/tex3]
[tex3]P({x_4})=r_2(x_4)=3x_4+5[/tex3]
Vamos aplicar as relaçoes de girard para encontrar os seguintes resultados (logo, logo , você saberá o motivo)
[tex3]x_1+x_2=-1[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-1[/tex3]
[tex3]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=-1-3(1)(-1)=3[/tex3]
[tex3]x_3+x_4=1[/tex3]
[tex3]x_3^2+x_4^2=(x_3+x_4)^2-2x_3x_4=-1[/tex3]
[tex3]x_3^3+x_4^3=(x_3+x_4)^3-3x_3x_4(x_3+x_4)=1-3(1)(1)=-2[/tex3]
Portanto:
[tex3]P(x)=D_3(x)Q_3(x)+r_3(x)[/tex3]
Note que as raízes de [tex3]D_{3}(x)[/tex3] sao : [tex3]x_{1},x_2,x_3,x_4[/tex3]
Lembre-se que o grau do resto sempre é menor que o grau do divisor, assim podemos escrever que:
[tex3]r_3(x)=ax^{3}+bx^2+cx+d[/tex3]
Por fim,
[tex3]P(x_1)=r_3(x_1)=r_1(x_1) [/tex3]
[tex3]P(x_2)=r_3(x_2)=r_1(x_2) [/tex3]
[tex3]P(x_3)=r_3(x_3)=r_2(x_3) [/tex3]
[tex3]P(x_4)=r_3(x_4)=r_2(x_4) [/tex3]
Montaremos entao um sistema de quatro equações:
[tex3]r_3(x_1)=ax_1^{3}+bx_1^2+cx_1+d=-x_1-1[/tex3]
[tex3]r_3(x_2)=ax_2^{3}+bx_2^2+cx_2+d=-x_2-1[/tex3]
[tex3]r_3(x_3)=ax_3^{3}+bx_3^2+cx_3+d=3x_3+5[/tex3]
[tex3]r_3(x_4)=ax_4^{3}+bx_4^2+cx_4+d=3x_4+5[/tex3]
Bom agora é só fazer as manipulaçoes, soma as duas primeiras e monta uma equaçao em funçao de a,b,c,d
Soma as duas ultimas e monta outra equaçao em funcao de a,b,c,d
AH! Esqueci de avisar que voce tambem vai precisar saber da diferença das raizes, para isso , usa [tex3](a-b)^{2}=a^2-2ab+b^2[/tex3]
Com isso ,os dois ultimas sistemas voce encontra a partir da diferença.
Assim , encontra-se os quatros sistemas e só resolver.
Duas obs:
1) Eu nao seise tem um jeito mais facil de resolver, caso alguem saiba , ficaria agradecido.
2) Eu nao terminei ainda , entao pode ser que não dê certo
, caso consiga poderia me dar um feedback?"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton
Set 2020
24
18:49
Re: (ITA) Polinômios
Vamos fazer o seguinte:
[tex3]P(x)=Q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
Podemos escrever [tex3]Q(x)[/tex3] como:
[tex3]Q(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}+ax+b[/tex3]
Então:
[tex3]P(x)=Q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=\[q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}+ax+b\]{\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}{\color{red}(x^2+x+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=q(x){\color{Teal}(x^4+x^2+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
Assim, [tex3](ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3] será o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^4+x^2+1[/tex3] . Pra descobrirmos quem são [tex3]a,b[/tex3] vamos usar a segunda informação de resto:
[tex3]P(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}{\color{red}(x^2+x+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{ax^3+bx^2+ax^2+bx+ax+b-x+1\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{ax^3+(a+b)x^2+(a+b-1)x+(b+1)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
Como o grau do denominador é menor que do numerador, podemos fazer divisão na fração:
Assim:
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=\underbrace{q(x){\color{red}(x^2+x+1)}ax+2a+b}_{\text{Quociente} }+\overbrace{(2a+2b-1)x+(1-2a)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}^{\text{Resto}}[/tex3]
Sabemos que o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]{\color{OliveGreen}x^2-x+1}[/tex3] é [tex3]3x+5[/tex3] . Então:
[tex3](2a+2b-1)x+(1-2a)=3x+5[/tex3]
Por igualdade de polinômios, temos:
[tex3]\begin{cases}
2a+2b-1=3 \\
1-2a=5
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema temos [tex3]a=-2[/tex3] e [tex3]b=4[/tex3]. Assim, o resto desejado será:
[tex3](ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3](-2x+4){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]-2x^3+2x^2+x+5[/tex3]
[tex3]P(x)=Q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
Podemos escrever [tex3]Q(x)[/tex3] como:
[tex3]Q(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}+ax+b[/tex3]
Então:
[tex3]P(x)=Q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=\[q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}+ax+b\]{\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}{\color{red}(x^2+x+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]P(x)=q(x){\color{Teal}(x^4+x^2+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
Assim, [tex3](ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3] será o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^4+x^2+1[/tex3] . Pra descobrirmos quem são [tex3]a,b[/tex3] vamos usar a segunda informação de resto:
[tex3]P(x)=q(x){\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}{\color{red}(x^2+x+1)}+(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{(ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{ax^3+bx^2+ax^2+bx+ax+b-x+1\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=q(x){\color{red}(x^2+x+1)}+{ax^3+(a+b)x^2+(a+b-1)x+(b+1)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}[/tex3]
Como o grau do denominador é menor que do numerador, podemos fazer divisão na fração:
- Divisão de um negócio por x^2-x+1.png (12.98 KiB) Exibido 1398 vezes
[tex3]{P(x)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}=\underbrace{q(x){\color{red}(x^2+x+1)}ax+2a+b}_{\text{Quociente} }+\overbrace{(2a+2b-1)x+(1-2a)\over{\color{OliveGreen}(x^2-x+1)}}^{\text{Resto}}[/tex3]
Sabemos que o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]{\color{OliveGreen}x^2-x+1}[/tex3] é [tex3]3x+5[/tex3] . Então:
[tex3](2a+2b-1)x+(1-2a)=3x+5[/tex3]
Por igualdade de polinômios, temos:
[tex3]\begin{cases}
2a+2b-1=3 \\
1-2a=5
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema temos [tex3]a=-2[/tex3] e [tex3]b=4[/tex3]. Assim, o resto desejado será:
[tex3](ax+b){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3](-2x+4){\color{red}(x^2+x+1)}+(-x+1)[/tex3]
[tex3]-2x^3+2x^2+x+5[/tex3]
Última edição: jrneliodias (Qui 24 Set, 2020 19:02). Total de 2 vezes.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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