Ensino Médio ⇒ Álgebra = Raízes,polinômios e equações Tópico resolvido

[careca]

Seja [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

e [tex3]\beta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta[/tex3]

as raízes da equação [tex3]x^2 -x -1 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 -x -1 = 0[/tex3]

. Calcule [tex3]13\alpha^5 + 5\beta^7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13\alpha^5 + 5\beta^7[/tex3]

.

(A) 0

(B) 12

(C) 144

(D) 1

(E) 36

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Sem gabarito

[Deleted User 25200]

Para [tex3]\alpha =\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha =\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

e [tex3]\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{52(\sqrt{5}+1)^5+5(1-\sqrt{5})^7}{2^7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{52(\sqrt{5}+1)^5+5(1-\sqrt{5})^7}{2^7}[/tex3]

Nesse ponto não vejo outro caminho a não ser o Triângulo de Pascal.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 = (1+a)⁵ = 1 + 5a + 10a² + 10a³ + 5a⁴ + a⁵
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 = (1-a)⁷ = 1 - 7a + 21a² - 35a³ + 35a⁴ - 21a⁵ + 7a⁶ - a⁷


Se [tex3]\sqrt{5}=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{5}=a[/tex3]

[tex3]\frac{52(1 + 5a + 10a² + 10a³ + 5a⁴ + a⁵)+5(1 - 7a + 21a² - 35a³ + 35a⁴ - 21a⁵ + 7a⁶ - a⁷)}{2^7}=144[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{52(1 + 5a + 10a² + 10a³ + 5a⁴ + a⁵)+5(1 - 7a + 21a² - 35a³ + 35a⁴ - 21a⁵ + 7a⁶ - a⁷)}{2^7}=144[/tex3]

Desenvolvendo esse monstrinho você chega em 144. Deve ter outro jeito mais rápido e fácil de fazer.

[careca]

Concordo que exista um método mais fácil, mas ainda não descobri. Deixo o tópico aberto ainda no fórum