Ensino Médio ⇒ Triângulo com 3 circunferências inscritas Tópico resolvido

[careca]

Não sei a origem desta questão. Entretanto, encontrei-a na internet como desafio e tentei resolvê-la.

Enunciado: Sendo BC = 12. Calcule o raio do círculo inscrito em ABC.

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Resposta

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Não sei o gabarito exato, mas encontrei R = 3/2

Alguém poderia resolver e informar-me o que achou?

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Minha resolução via trigonometria :

WhatsApp Image 2020-09-15 at 14.48.03.jpeg (52.27 KiB) Exibido 1178 vezes

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[Deleted User 25040]

geometriaaa1.jpeg (23.51 KiB) Exibido 1154 vezes

P é p baricentro do triangulo ABC
[tex3]O_1O_2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]O_1O_2=4[/tex3]

[tex3]\Delta PO_1O_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta PO_1O_2[/tex3]

é semelhante ao triangulo [tex3]\Delta PBC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta PBC[/tex3]

pois os ângulos de ambos os triângulos são iguais, e como podemos ver um lado do triangulo maior tem o triplo da medida do respectivo lado do triangulo menor [tex3]\frac{4}{12}=\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{12}=\frac{1}{3}[/tex3]

com isso descobrimos que [tex3]PO_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PO_2[/tex3]

vale [tex3]\frac{PC}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PC}{3}[/tex3]

podemos ver também que PQC é semelhante a [tex3]HCO_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]HCO_2[/tex3]

como tínhamos visto [tex3]PO_2=\frac{PC}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PO_2=\frac{PC}{3}[/tex3]

então [tex3]O_2C=\frac{2PC}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]O_2C=\frac{2PC}{3}[/tex3]

agora por semelhança
[tex3]\frac{O_2C}{PC}=\frac{1}{PQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{O_2C}{PC}=\frac{1}{PQ}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{2PC}{3}}{PC}=\frac{1}{PQ}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{2PC}{3}}{PC}=\frac{1}{PQ}[/tex3]

[tex3]PQ=\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PQ=\frac{3}{2}[/tex3]

vou ler sua resolução e já respondo

[Deleted User 25040]

pode detalhar mais a parte que diz que BQ = CM = 4? n entendi essa parte

[careca]

O quadrilátero BQPO3 seria congruente ao CMNO1 e por isso teriam o mesmo lado 4